Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Cho x, y, z không âm thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

[nhatduy01]

Cho x, y, z không âm thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Theo AM-GM ta có $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

           Do đó ta cần CM     $x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\geq 2(xy+yz+zx)$

                                         $\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)+3(x+y+z)\geq 2(x+y+z)(xy+yz+zx)$

                                         $\Leftrightarrow \sum x^{3}+\sum xy(x+y)+3\sum x\geq 2\sum xy(x+y)+6xyz$  

                                         $\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x\geq \sum xy(x+y)+6$

            Áp dụng AM-GM và Schur bậc 3 ta được

                                       $\sum x^{3}+3\sum x=(\sum x^{3}+(x+y+z))+2(x+y+z)\geq (\sum x^{3}+3\sqrt[3]{xyz})+2.3\sqrt[3]{xyz}=(\sum x^{3}+3xyz)+6\geq \sum xy(x+y)+6$

                $\Rightarrow$ đpcm

 Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[nguyenqn1998]

Cho x, y, z không âm thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

ta có $x+y+z \geq 3$ (theo AM-GM) 

bất đẳng thức cần c/m dc viết lại: $x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+zx)$ (1 bdt khá quen thuộc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 23-11-2013 - 23:33