Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn : a+b =1. Tìm minP biết:

P=$\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}$

[25 minutes]

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn : a+b =1. Tìm minP biết:

P=$\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}$

Áp dụng AM-GM ta có $P\geqslant 2\sqrt[6]{(a^2+\frac{1}{a^2})(b^2+\frac{1}{b^2})}=2\sqrt[6]{(ab)^2+\frac{1}{(ab)^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}}\geqslant 2\sqrt[6]{t^2+\frac{1}{t^2}+2}$

Với $t=ab\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P\geqslant 2\sqrt[6]{t^2+\frac{1}{t^2}+2}$

Ta có $t^2+\frac{1}{t^2}\geqslant \frac{257}{16}\Leftrightarrow (t^2-16)(t^2-\frac{1}{16})\geqslant 0$, luôn đúng

         $\Rightarrow P\geqslant 2\sqrt[6]{\frac{257}{16}+2}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 24-11-2013 - 18:32