Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Tìm max của: $\sum_{a,b,c}\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}$
Max: $\sum_{a,b,c}\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}$
Bắt đầu bởi Cao thu, 25-11-2013 - 19:29
#2
Đã gửi 12-04-2021 - 11:33
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Nếu $a,b,c$ không âm thì làm như thế này:
Giả sử a = max{a,b,c} thì $\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 1$
Ta xét bất đẳng thức: $\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\leqslant (b+c)^2+1+\frac{1}{a^2+1}$
Nó tương đương với: $\frac{c(a^2c^3+2a^2bc^2+2bc^2+a^2b^2c+b^2c+2a^2c+c+2a^2b+2b)}{(a^2+1)(c^2+1)}\geqslant 0$
và $\frac{a^2+1}{b^2+1}\leqslant a^2+1$
Suy ra $VT\leqslant a^2+(b+c)^2 + \frac{1}{a^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-3a-4a^3)}{2(a^2+1)}\leqslant 0$ *đúng*
Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
