Chủ đề này có 4 trả lời

[haitienbg]

Cho $a,b,c > 0$. Chứn minh rằng:

 

$\frac{a}{bc(c^2+a^2)}+\frac{b}{ca(a^2+b^2)}+\frac{c}{ab(b^2+c^2)}\geq \frac{27}{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

 

[kfcchicken98]

$\frac{27}{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}=\frac{27}{2((a+b)(b+c)(c+a)+abc)}\leq \frac{27}{18abc}=\frac{3}{2abc}$

giờ cần cm $\frac{a}{bc(c^{2}+a^{2})}+\frac{b}{ca(a^{2}+b^{2})}+\frac{c}{ab(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{2abc}$

tương đương $\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

đặt $\frac{a}{b}=x; \frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$

có xyz=1; bđt tương đương $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

có $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}=\frac{2z}{1+z}$

giờ cần CM $\frac{2z}{1+z}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

tương đương $\frac{2z^{3}+3z+1}{1+z^{3}+z^{2}+z}\geq \frac{3}{2}$

tương đương $4z^{3}+6z+2\geq 3z^{3}+3z^{2}+3z+3$

tương đương $z^{3}+3z\geq 3z^{2}+1$

tương đương $(z-1)(z^{2}+z+1)+3z(1-z)\geq 0$

tương đương $(z-1)(z^{2}-2z+1)\geq 0$

giả sử $z\geq y\geq x$

suy ra $xyz\leq z^{3}$

suy ra $z\geq 1$

suy ra $(z-1)^{3}\geq 0$ đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 05-12-2013 - 01:00

[haitienbg]

Chắc đề bài không sai đâu.. mình lấy bên mathlinks.ro mà

http://www.artofprob...p?f=52&t=565500

[kfcchicken98]

Chắc đề bài không sai đâu.. mình lấy bên mathlinks.ro mà

http://www.artofprob...p?f=52&t=565500

đã fix

[nguyenqn1998]

$\frac{27}{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}=\frac{27}{2((a+b)(b+c)(c+a)+abc)}\leq \frac{27}{18abc}=\frac{3}{2abc}$

giờ cần cm $\frac{a}{bc(c^{2}+a^{2})}+\frac{b}{ca(a^{2}+b^{2})}+\frac{c}{ab(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{3}{2abc}$

tương đương $\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

đặt $\frac{a}{b}=x; \frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$

có xyz=1; bđt tương đương $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

có $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}=\frac{2z}{1+z}$

giờ cần CM $\frac{2z}{1+z}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

tương đương $\frac{2z^{3}+3z+1}{1+z^{3}+z^{2}+z}\geq \frac{3}{2}$

tương đương $4z^{3}+6z+2\geq 3z^{3}+3z^{2}+3z+3$

tương đương $z^{3}+3z\geq 3z^{2}+1$

tương đương $(z-1)(z^{2}+z+1)+3z(1-z)\geq 0$

tương đương $(z-1)(z^{2}-2z+1)\geq 0$

giả sử $z\geq y\geq x$

suy ra $xyz\leq z^{3}$

suy ra $z\geq 1$

suy ra $(z-1)^{3}\geq 0$ đpcm 

ko bik khúc sau bạn làm đúng ko cơ mà lúc đầu  $\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

bất đẳng thức này ko đúng với $a=1,b=3,c=2$