Chủ đề này có 3 trả lời

[tontrungson]

chứng minh rằng nếu m,n là số chính phương thỏa mãn:$3m^{2}+m=4n^{2}+n$ thì m-n và 4m+4n+1 là số chính phương

[iumath]

chứng minh rằng nếu m,n là số chính phương thỏa mãn:$3m^{2}+m=4n^{2}+n$ thì m-n và 4m+4n+1 là số chính phương

$3m^{2}+m=4n^{2}+n$

$\Rightarrow 4m^{2}-4n^{2}+m-n=m^{2}$

$\Rightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^{2}$

gọi d là ƯCLN(m-n;4m+4n+1)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &d & \vdots m-n\\ &d & \vdots 4m+4n+1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &d & \vdots 4m-4n\\ &d & \vdots 4m+4n+1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &d & \vdots 8m+1\\ &d & \vdots m \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &d & \vdots 8m+1\\ &d & \vdots 8m \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow d\vdots 1$

$\Rightarrow d=1$

Vậy m-n và 4m+4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy m-n và 4m+4n+1 là hai số chính phương.

[iumath]

tính chất rút ra từ bài toán:

 Hai số a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì hai số a và b là hai số chính phương.

[buiminhhieu]

tính chất rút ra từ bài toán:

 Hai số a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì hai số a và b là hai số chính phương.

$ab=c^{2}\rightarrow a={x}'x^{2};b={y}'y^{2};({x}',{y}')=1\Rightarrow{x}'{y}'$ là số cp

cứ như vậy thì ${x_{n}}'.{y_{n}}'$ là số cp

điều này xảy ra khi ${x}'={y}'=1$

ta có điều phải chưng minh