Chủ đề này có 7 trả lời

[buiminhhieu]

 Cho a,b,c>0 abc=1 Chứng minh :

$\sum \frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}\geq \frac{1}{3}$

[Hoang Tung 126]

Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

BĐT $< = > \sum \frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\sum \frac{(\frac{x}{y})^2}{(\frac{x}{y}.\frac{y}{z}+2)(\frac{2x}{y}.\frac{y}{z}+1)}=\sum \frac{x^2z^2}{y^2(2z+x)(2x+z)}\geq \sum \frac{x^2z^2}{y^2.\frac{(2z+x+2x+z)^2}{4}}=\sum \frac{4x^2z^2}{9y^2(x+z)^2}=\frac{4}{9}.\sum \frac{x^2z^2}{y^2(x+z)^2}$

Đặt $xy=m,yz=n,xz=p$

BĐT $< = > \frac{4}{9}.\sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{1}{3}< = > \sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{3}{4}$

Hiển nhiên đúng do theo bđt Bunhiacopxki và bđt Nesbit có :

 $\sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{(\sum \frac{p}{m+n})^2}{3}\geq\frac{(\frac{3}{2})^2}{3}=\frac{3}{4}$

 Do đó ta có đpcm. 

Đẳng thức xảy ra khi $m=n=p< = > x=y=z< = > a=b=c=1$

[buiminhhieu]

Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

BĐT $< = > \sum \frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\sum \frac{(\frac{x}{y})^2}{(\frac{x}{y}.\frac{y}{z}+2)(\frac{2x}{y}.\frac{y}{z}+1)}=\sum \frac{x^2z^2}{y^2(2z+x)(2x+z)}\geq \sum \frac{x^2z^2}{y^2.\frac{(2z+x+2x+z)^2}{4}}=\sum \frac{4x^2z^2}{9y^2(x+z)^2}=\frac{4}{9}.\sum \frac{x^2z^2}{y^2(x+z)^2}$

Đặt $xy=m,yz=n,xz=p$

BĐT $< = > \frac{4}{9}.\sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{1}{3}< = > \sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{3}{4}$(1)

Hiển nhiên đúng do theo bđt Bunhiacopxki và bđt Nesbit có :

 $\sum \frac{p^2}{(m+n)^2}\geq \frac{(\sum \frac{p}{m+n})^2}{3}\geq\frac{(\frac{3}{2})^2}{3}=\frac{3}{4}$

 Do đó ta có đpcm. 

Đẳng thức xảy ra khi $m=n=p< = > x=y=z< = > a=b=c=1$

có thể làm từ đầu đến (1)

cô si dưới mẫu $\sum \frac{a^{2}}{(2ab+1)(ab+2)}\geq \sum \frac{4a^{2}}{(3ab+3)^{2}}=\frac{4}{9}\sum \frac{a^{2}}{(ab+1)^{2}}\geq \frac{4}{27}(\sum \frac{a}{ab+1})^{2}$

Đặt xy=m,yz=n,zx=p thay vào dùng nesbit 3 số là xong

[Hoang Tung 126]

có thể làm từ đầu đến (1)

cô si dưới mẫu $\sum \frac{a^{2}}{(2ab+1)(ab+2)}\geq \sum \frac{4a^{2}}{(3ab+3)^{2}}=\frac{4}{9}\sum \frac{a^{2}}{(ab+1)^{2}}\geq \frac{4}{27}(\sum \frac{a}{ab+1})^{2}$

Đặt xy=m,yz=n,zx=p thay vào dùng nesbit 3 số là xong

Nhưng cái chỗ $\frac{a}{ab+1}$ làm sao tách được hả bạn nó không ra Nesbit đâu

[thichhoctoan96]

đựa vào tích xyz=1 nên ta nghĩ đến đặt a=x/y   b=y/z    c=z/x   : nay biết thêm được một tí...
thanks

[buiminhhieu]

Nhưng cái chỗ $\frac{a}{ab+1}$ làm sao tách được hả bạn nó không ra Nesbit đâu

thay $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

[Yagami Raito]

Tham khảo tại đây

[Hoang Tung 126]

Tham khảo tại đây

Cách này khác gì cách của mình