Chủ đề này có 3 trả lời

[pdtienArsFC]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

1, $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

2, $\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{3(ab+bc+bc)}{a+b+c}$

[Phuong Thu Quoc]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

1, $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

2, $\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{3(ab+bc+bc)}{a+b+c}$

2/ Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó dễ thấy $\left ( a^{3},b^{3},c^{3} \right ),\left ( \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} ,\frac{1}{c^{2}-ac+a^{2}},\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}\right )$ là 2 bộ đơn điệu cùng chiều

Theo BĐT hoán vị có $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}$

Mặt khác ta lại thấy $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \frac{b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\left ( VT-VP=\sum \left ( a-b \right )=0 \right )$

Vậy $2\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}+\sum \frac{b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \left ( a+b \right )=2\left ( a+b+c \right )$

Từ đó có $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq a+b+c=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$

Đó là đpcm.

[pdtienArsFC]

2/ Giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó dễ thấy $\left ( a^{3},b^{3},c^{3} \right ),\left ( \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} ,\frac{1}{c^{2}-ac+a^{2}},\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}\right )$ là 2 bộ đơn điệu cùng chiều

Theo BĐT hoán vị có $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}$

Mặt khác ta lại thấy $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \frac{b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}\left ( VT-VP=\sum \left ( a-b \right )=0 \right )$

Vậy $2\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}+\sum \frac{b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \left ( a+b \right )=2\left ( a+b+c \right )$

Từ đó có $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq a+b+c=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c}\geq \frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c}$

Đó là đpcm.

Chỉ rõ chỗ màu đỏ tớ cái...đc ko???

[KietLW9]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

1, $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}+\frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geqslant 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $a\geqslant b\geqslant c$ thì $\frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geqslant \frac{(c-a)(c-b)}{abc+b^3}$

$\Rightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}+\frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geqslant \frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}+ \frac{(c-a)(c-b)}{abc+b^3}=\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)^2}{abc+a^3}\geqslant 0(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$