Chủ đề này có 1 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài toán:Cho $a,b\in Z$ và $a\neq b$ thỏa $a^{2}+b^{2}+ab|ab(a+b)$.Chứng minh $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

[WhjteShadow]

Từ đề bài suy ra $a^2+ab+b^2| a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)=a^3$.

Đặt $gcd(a;b)= d, a=d.a_1,b=d.b_1,(a_1;b_1)=1$, suy ra $a_1^2+a_1b_1+b_1^2| d.a_1^3$

Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ là ước của $gcd(a_1^2+a_1b_1+b_1^2;a_1^3)$, lúc đó $p|a_1,p|a_1^2+a_1b_1+b_1^2$ suy ra $p|b_1^2\Rightarrow p|b_1$, vậy $p|(a_1;b_1)=1$ vô lí, vậy $gcd(a_1^2+a_1b_1+b_1^2;a_1^3)=1$ suy ra $a_1^2+a_1b_1+b_1^2|d$

$\Rightarrow d\geq a_1^2+a_1b_1+b_1^2\Rightarrow d^3\geq a^2+ab+b^2> ab$

$\Rightarrow |a-b|\geq d> \sqrt[3]{ab}$ (Do $a_1\neq b_1$ nên $|a-b|=d.|a_1-b_1|\geq d$) $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-12-2013 - 21:15