742 replies to this topic

[Viet Hoang 99]

Một số bài tập về kĩ thuật Cauchy ngược dấu.

 

25) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa $a+b+c+d=4$. Cmr: $\sum \frac{a}{1+b^2}\geq 2$

 

26) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa $a+b+c+d=4$. Cmr: $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq 2$

 

27) Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

 

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

 

29) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+b}{1+a}\geq \sum ab$

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 20:52.

[hoctrocuanewton]

25) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa $a+b+c+d=4$. Cmr: $\sum \frac{a}{1+b^2}\geq 2$

 

 

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{a}{1+b^{2}}= \sum (a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}})\geq \sum (a-\frac{ab^{2}}{2b})= \sum (a-\frac{ab}{2})(1)$

ta có

$ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4}= 4(2)$

từ (1)(2) suy ra đpcm

[hoctrocuanewton]

 

27) Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

 

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}= \sum (a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}})\geq \sum (a-\frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}})= \sum (a-\frac{2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}{3})\geq \sum (a-\frac{2}{9}(2ab+1)) = a+b+c-\frac{4(ab+bc+ac)}{9}-\frac{2}{3}(1)$

ta có

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)= 9\Rightarrow a+b+c\geq 3(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

[nguyentrungphuc26041999]

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

làm thế này không biết có sai không

ta có $ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum \frac{a+1}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a+1}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{2x+2z-y}{3xy}\geq 3$ với $x+y+z=6$

đến đoạn này việc đánh giá là hoàn toàn đơn giản chỉ có đièu mình sai hệ số chỗ nào không phát hiện ra,mong các bạn sửa hộ

[Viet Hoang 99]

27)

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}= \sum (a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}})\geq \sum (a-\frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}})$ $=\sum (a-\frac{2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}{3})\geq \sum (a-\frac{2}{9}(2ab+1))$ $= a+b+c-\frac{4(ab+bc+ac)}{9}-\frac{2}{3}(1)$

ta có

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)= 9\Rightarrow a+b+c\geq 3(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

Làm rõ: $2ab+1=ab+ab+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2}$ (Cauchy)

$\Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\leq \frac{2}{9}(2ab+1)$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

26) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa $a+b+c+d=4$. Cmr: $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq 2$

 

 

26)

$\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum (a-\frac{ab^2c}{1+b^2c})\geq \sum (a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}})=\sum (a-\frac{ab\sqrt{c}}{2})\geq \sum (a-\frac{b\sqrt{a^2c}}{2})\geq \sum (a-\frac{b(a+ac)}{4})=a+b+c+d-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)$

Có: 1. $ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$

      2.  $abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\leq \frac{1}{4}(a+b)^2(c+d)+\frac{1}{4}(c+d)^2(a+b)=\frac{1}{4}(a+b)(c+d)(a+b+c+d)=(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$

Vậy $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq 4-\frac{1}{4}(4+4)=2$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=d=1$

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 20:16.

[Viet Hoang 99]

làm thế này không biết có sai không

ta có $ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum \frac{a+1}{b^{2}+ab+bc+ca}=$ $\sum \frac{a+1}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{2x+2z-y}{3xy}\geq 3$ với $x+y+z=6$

đến đoạn này việc đánh giá là hoàn toàn đơn giản chỉ có đièu mình sai hệ số chỗ nào không phát hiện ra,mong các bạn sửa hộ

???
Vậy là $1\leq \sum ab$ à

Để mình làm bài 28 nhé.

 

 

 

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

 

 

28)

$\sum \frac{a+1}{b^2+1}=\sum \frac{a}{b^2+1}+\sum \frac{1}{b^2+1}=\sum (a-\frac{ab^2}{b^2+1})+\sum (1-\frac{b^2}{b^2+1})\geq \sum a+3-\sum \frac{ab^2}{2b}-\sum \frac{b^2}{2b}=6-\frac{\sum ab}{2}-\frac{\sum a}{2}\geq 6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 20:22.

[lahantaithe99]

 

28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

 

 

Ta có

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{ab+b}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{ab+b}{2}\geq 6-3=3$

do dễ cm $\sum \frac{ab+b}{2}\leq 3$ với $a+b+c=3$

[Viet Hoang 99]

Ta có

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{ab+b}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{ab+b}{2}\geq 6-3=3$

do dễ cm $\sum \frac{ab+b}{2}\leq 3$ với $a+b+c=3$

Mình đã làm bên trên và chi tiết hơn.

 

 

29) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+b}{1+a}\geq \sum ab$

 

Cách 1:

$\sum \frac{a+b}{1+a}=\sum [a+b-\frac{a(a+b)}{1+a}]=2\sum a-\sum \frac{a(a+b)}{1+a}$

Có: $(1+a)^2\geq 4a\Rightarrow \frac{1+a}{4}\geq \frac{a}{1+a}$

$\Rightarrow \frac{a(a+b)}{1+a}\leq \frac{(1+a)(1+b)}{4}=\frac{\sum a^2+ab+a+b}{4}\Rightarrow \sum \frac{a(a+b)}{1+a}\leq \frac{1}{4}(\sum a^2+\sum ab+2\sum a)=\frac{1}{4}((\sum a)^2-\sum ab+6)=\frac{1}{4}(15-\sum ab)$

$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}\geq 6-\frac{15}{4}+\frac{1}{4}\sum ab=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\sum ab$

Mà $9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{4}$

Vậy ta có đpcm.

Cách 2:

$\frac{a+b}{1+a}+\frac{(a+b)(1+a)}{4}\geq a+b$

$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{\sum a^2+\sum ab+2\sum a}{4}\geq 2\sum a\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{(\sum a)^2+2\sum a}{4}\geq 2\sum a+\frac{\sum ab}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{15}{4}\geq 6+\frac{\sum ab}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}\geq \frac{\sum ab}{4}+\frac{9}{4}$

 

Mà $9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{4}$

Vậy ta có đpcm.

[Viet Hoang 99]

30) Cho $a;b;c>0$ thỏa; $abc=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)}$

.

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 21:13.

[Viet Hoang 99]

30) Cho $a;b;c>0$ thỏa; $abc=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)}$

 

 

30)

$\sum [\frac{4a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{2}+\frac{1+c}{2}]\geq 3\sum a\Rightarrow \sum \frac{4a^3}{(1+b)(1+c)}\geq 2\sum a-3\geq 6\sqrt[3]{abc}-3=3$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 21:13.

[Viet Hoang 99]

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

35) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Edited by Viet Hoang 99, 12-02-2014 - 12:14.

[canhhoang30011999]

 

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

 

ta có $P\geq \frac{3}{\sqrt[9]{\prod (a+3b)}}$$\geq \frac{3}{\sqrt[9]{\frac{64(a+b+c)^{3}}{27}}}= 3$

[Kaito Kuroba]

 

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

 

 

 

c2: dùng cauchy-schwartz.

 

$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq  \frac{9}{\sum \sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{27}{4(a+b+c)+6}=3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

[Viet Hoang 99]

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

 

ta có $P\geq \frac{3}{\sqrt[9]{\prod (a+3b)}}$$\geq \frac{3}{\sqrt[9]{\frac{64(a+b+c)^{3}}{27}}}= 3$

Làm rõ hơn: (Mà nếu dùng kí hiệu này phải giải thích, trong TOPIC này mới dùng $\sum$ thôi)
Áp dụng Cauchy 3 số:$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}}}=\frac{3}{\sqrt[9]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}}$

Áp dụng Cauchy 3 số:

$\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}\leq \frac{4a+4b+4c}{3}$

 $\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}\leq \frac{4a+4b+4c}{3} \Rightarrow \sqrt[9]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)}\leq \sqrt[9]{\frac{64(a+b+c)^3}{27}}$

 

Cách 2:

Áp dụng Cauchy 4 số:

$\frac{1}{3\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{a+3b}{3}\geq \frac{4}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq 4-\frac{4}{3}\sum a=3$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

 

Cách 3:

 

 

c2: dùng cauchy-schwartz.

 

$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq$ $\frac{9}{\sum \sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{27}{4(a+b+c)+6}$ $=3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

 

 

Làm rõ: chỗ màu đỏ là Cauchy 3 số từng cái một.

$\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq a+3b+2$

tương tự cộng vào

Edited by Viet Hoang 99, 11-02-2014 - 21:33.

[Kaito Kuroba]

 

 

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

 

 

ta có: $\sum \sqrt{3+4^{x}}\geq \sqrt{\left (3\sqrt{3} \right )^2+(3.4^{x+y+z})^2}=6$

 

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c=0$

Edited by Kaito Kuroba, 11-02-2014 - 21:35.

[canhhoang30011999]

ta có: $\sum \sqrt{3+4^{x}}\geq \sqrt{\left (3\sqrt{3} \right )^2+(3.4^{x+y+z})^2}=6$

 

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c=0$

đây là bđt gì vậy

[Kaito Kuroba]

 

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

 

 

c1:dùng holder.

 

$\left (\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} \right )^2(\sum b^2+9)\geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3 \Rightarrow \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{3}{2}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Kaito Kuroba]

 

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

 

 

c2: áp dụng bunhiacopxki.

 

 

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sum a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2+9)}}=\frac{3^2}{\sqrt{3.12}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

 Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

[lahantaithe99]

 

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

 

Ta có $\sqrt{(3+4^x)(3+1)}\geq (3+\sqrt{4^x})\Rightarrow \sqrt{3+4^x}\geq \frac{3+\sqrt{4^x}}{2}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{3+4^x}\geq \frac{9+\sum \sqrt{4^x}}{2}$

$\geq \frac{9+3.\sqrt[3]{4^x.4^y.4^z}}{2}=\frac{9+3.\sqrt[3]{4^{x+y+z}}}{2}=6$

Edited by lahantaithe99, 12-02-2014 - 12:40.

[canhhoang30011999]

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

 

ta có $1-a_{1}= a_{2}+a_{3}+..+a_{n}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_{2}a_{3}..a_{n}}$

tương tự rồi nhân vế vết ta có

$(1-a_{1})(1-a_{2})..(1-a_{n})\geq (n-1)^{n-1}a_{1}a_{2}..a_{n}$

$\Rightarrow dpcm$