Chủ đề này có 742 trả lời

[lahantaithe99]

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

 

 

Ta có $a_{1}+...+a_{n}=1\Rightarrow 1-a_{1}=a_{2}+...+a_{n}\geq (n-1).\sqrt[n-1]{a_{2}...a_{n}}$

Tươn tự $1-a_{n}\geq (n-1).\sqrt[n-1]{a_{1}...a_{n-1}}$

$\Rightarrow \prod (1-a_{1})\geq (n-1)^2.a_{1}...a_{n}$

$\Rightarrow \prod (\frac{1}{a_{1}}-1)\geq (n-1)^2$

[Kaito Kuroba]

 

 

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

 

 

c3:

 

$\sum \sqrt[3]{3+4^x }\geq 4\sum \sqrt[8]{4^x}\Rightarrow P\geq 6\sqrt[24]{4^{x+y+x}}=6$

[Hoang Tung 126]

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

35) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

 

 Còn mỗi bài này mình giải luôn

Bài 35: $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c= > abc=\sqrt{xyz}=1$.Ta sử dụng bdt Bunhiacopxki và bdt AM-GM như sau:

$= > A=\sum \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\geq \sum \frac{a^4.2bc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3.abc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^6}{a^3b^3+2a^3c^3}\geq 2.\frac{(\sum a^3)^2}{3\sum a^3b^3}=\frac{2}{3}.\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^3b^3}\geq \frac{2}{3}.\frac{3\sum a^3b^3}{\sum a^3b^3}=2= > A\geq 2$

Do đó A Min = 2 khi $a=b=c=1< = > x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 12-02-2014 - 09:49

[Viet Hoang 99]

c1:dùng holder.

 

$\left (\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} \right )^2(\sum b^2+9)\geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^3 \Rightarrow \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{3}{2}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

 

c2: áp dụng bunhiacopxki.

 

 

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sum a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{(\sum b^2)^2}{\sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2+9)}}=\frac{3^2}{\sqrt{3.12}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

 Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

Mình đã nhắc bạn rồi, không dài dòng. Làm xong cách 1 thì ấn vào nút sửa xong làm cách 2 vào đó, lại đi đăng thành 2 bài nữa.

33)
Cách 3:

$\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a\sqrt{b^2+3}}{4}\geq a^2\Rightarrow \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{\sum a\sqrt{b^2+3}}{4}\geq \sum a^2=3$

Áp dụng BCS

$(\sum a\sqrt{b^2+3})^2\leq \sum a^2(\sum a^2+9)=36\Rightarrow \sum a\sqrt{b^2+3}\leq 6$

Vậy $A\geq 3-\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

 

 Còn mỗi bài này mình giải luôn

Bài 35: $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c= > abc=\sqrt{xyz}=1$.Ta sử dụng bdt Bunhiacopxki và bdt AM-GM như sau:

$= > A=\sum \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\geq \sum \frac{a^4.2bc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3.abc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^6}{a^3b^3+2a^3c^3}\geq 2.\frac{(\sum a^3)^2}{3\sum a^3b^3}=\frac{2}{3}.\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^3b^3}\geq \frac{2}{3}.\frac{3\sum a^3b^3}{\sum a^3b^3}=2= > A\geq 2$

Do đó A Min = 2 khi $a=b=c=1< = > x=y=z=1$

35)
Cách 2:

$x^2(y+z)\geq x^2.2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{x}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{z}=c$

$\Rightarrow A\geq 2\sum \frac{a}{b+2c}=2\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\geq 2.\frac{(\sum a)^2}{3\sum ab}\geq 2.\frac{3\sum ab}{3\sum ab}=2$

$"="\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

 

 

Ta có $\sqrt{(3+4^x)(3+1)}\geq (3+\sqrt{4^x})^2$ $\Rightarrow \sqrt{3+4^x}\geq \frac{3+\sqrt{4^x}}{2}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{3+4^x}\geq \frac{9+\sum \sqrt{4^x}}{2}$

$\geq \frac{9+3.\sqrt[3]{4^x.4^y.4^z}}{2}=\frac{9+3.\sqrt[3]{4^{x+y+z}}}{2}=6$

Xem lại.(cả bài luôn; có một sự nhầm lẫn về căn và bình phương)

 

c3:

 

$\sum \sqrt[3]{3+4^x }\geq 4\sum \sqrt[8]{4^x}\Rightarrow P\geq 6\sqrt[24]{4^{x+y+x}}=6$

Viết sai; tắt.
32)
Mình viết lại: $\sqrt{3+4^x}=\sqrt{1+1+1+4^x}\geq \sqrt{4\sqrt[4]{4^x}}=2\sqrt[8]{4^x}\Rightarrow \sum \sqrt{3+4^x}\geq 2\sum \sqrt[8]{4^x}\geq 2.3\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^x.4^y.4^z}}=6\sqrt[24]{4^{x+y+z}}=6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-02-2014 - 12:12

[Viet Hoang 99]

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

 

ta có $1-a_{1}= a_{2}+a_{3}+..+a_{n}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_{2}a_{3}..a_{n}}$

tương tự rồi nhân vế vết ta có

$(1-a_{1})(1-a_{2})..(1-a_{n})\geq$ $(n-1)^{n-1}$ $a_{1}a_{2}..a_{n}$

$\Rightarrow dpcm$

$(n-1)^n$ nhé (Nhân $n$ số mà)

[Viet Hoang 99]

36) Cho $\left\{\begin{matrix}a\in [1;2];b\in [4;5];c\in [7;10] & & \\ a+b+c=16 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Max $P=abc$
 

Có: $a<b<c$

Dự đoán dấu $"="$ xảy ra khi: $\alpha a=\beta b=c$ với $\alpha >\beta >1$

Xét: $\alpha. \beta .P=\alpha a.\beta b.c\leq (\frac{\alpha a+\beta b+c}{3})^3=[\frac{(\alpha -1)a+(\beta -1)b+16}{3}]^3\leq [\frac{(\alpha -1).2+(\beta -1).5+16}{3}]^3$

$"=" \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=2 & & \\ b=5 & & \\c=9 \\\alpha a=\beta b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =\frac{9}{2} & & \\ \beta =\frac{9}{5} & & \end{matrix}\right.$

Xét: $\frac{9}{2}a.\frac{9}{5}b.c$

 

 

37) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$

 

38) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+b+1}\leq 1$

 

39) Cho $a;b;c\geq 0$ thỏa: $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

 

40) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-02-2014 - 13:10

[Kaito Kuroba]

...

37) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$

 

 

$\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}= \sum\frac{(x^3+y^3)(x^6-x^3y^3+y^6)}{x^6+x^3y^3+y^6}\geq \frac{1}{3}\sum \left ( x^3+y^3 \right )=\frac{2}{3}\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 2;"="\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 12-02-2014 - 13:01

[Kaito Kuroba]

38) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+b+1}\leq 1$

 

 

 

đặt: $a=x^3;b=y^3;c=z^3\Rightarrow xyz=1$

 

bđt trở thành: $\sum \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq 1$

 mà ta có: $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

 

áp dụng ta được:

$\sum \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=1 ;"="\Leftrightarrow x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1$

[Viet Hoang 99]

37)

$\sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$ $= \frac{(x^3+y^3)(x^6-x^3y^3+y^6)}{x^6+x^3y^3+y^6}$ $\geq \frac{1}{3}\sum \left ( x^3+y^3 \right )$ $=\frac{2}{3}\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\geq 2;"="\Leftrightarrow x=y=z=1$

Thiếu $\sum$.

Tắt.

Mình làm lại.

37)
Đặt $x^3=a;y^3=b;z^3=c$

$\Rightarrow abc=1$

$\Rightarrow P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b}{3}\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)\geq (a+b)(a^2+ab+b^2)\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0$ (Do $a+b>0$ nên chia 2 vế cho $a+b$)

$\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}\sum a\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
$"="\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-02-2014 - 12:55

[Kaito Kuroba]

39) Cho $a;b;c\geq 0$ thỏa: $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

 

 

 

 

$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leq 1$

 

áp dụng ta có:

 

$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}= \frac{1}{ab+bc+ca}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{ab+bc+ca}.\frac{ab+bc+ca}{abc}= \frac{1}{abc}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Kaito Kuroba]

40) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

từ đk ta được BDT:

 

$\sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

ta có: $2=2\left ( 1-a^2 \right )+2a^2\geq 3\sqrt[3]{a^2(1-a^2)^2}\Rightarrow a(1-a^2)\geq \frac{4}{27}\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Rightarrow \sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.; "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Viet Hoang 99]

từ đk ta được BDT:

 

$\sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

ta có: $2=2\left ( 1-a^2 \right )+2a^2\geq 3\sqrt[3]{a^2(1-a^2)^2}\Rightarrow a(1-a^2)\geq \frac{4}{27}\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Rightarrow \sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.; "="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

 

40) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

40)

Một cách khác.

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sum a^2$

Cần CM: $\frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Leftrightarrow \frac{1}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.a\Leftrightarrow \frac{2}{3\sqrt{3}}\geq a(1-a^2)\Leftrightarrow a^2(1-a^2)^2\leq \frac{4}{27}$ (*)

Có:

 $a^2(1-a^2)^2=\frac{1}{2}.2a^2(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{1}{2}(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\frac{4}{27}$

Vậy (*) Luôn đúng.

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-02-2014 - 13:05

[lahantaithe99]

 

 

40) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a(a^2+b^2+c^2)}{b^2+c^2}=\sum a+\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}$

Bằng $AM-GM$ dễ có $\left\{\begin{matrix} (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a+b+c\geq 3\sum a^2b & \\ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a+b+c\geq 3\sum ab^2& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \sum a\geq \frac{\sum a^2b+\sum ab^2}{2}$

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab^2+\sum a^2b}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{\sum ab^2+\sum a^2b}{2}+\frac{1}{\sum a^2b+\sum ab^2}$

$\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 12-02-2014 - 17:12

[Viet Hoang 99]

41) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leq \sum \frac{1}{x^2}$

 

42) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+bc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

43) Cho $\left\{\begin{matrix}x;y;z>0 & & \\ x+y+z=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{3}$

 

44) Cho $\left\{\begin{matrix}x;y;z>0 & & \\ x+y+z=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \sqrt{2x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{5}$

 

45) Cho $a;b>0$. Tìm Max $Q=a^3+b^3$ biết $a+b=a^2-ab+b^2$ 

 

46) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-02-2014 - 16:59

[Hoang Tung 126]

41) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leq \sum \frac{1}{x^2}$

 

42) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+bc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

 

43) Cho $\left\{\begin{matrix}x;y;z>0 & & \\ x+y+z=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{3}$

 

44) Cho $\left\{\begin{matrix}x;y;z>0 & & \\ x+y+z=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \sqrt{2x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{5}$

 

45) Cho $a;b>0$. Tìm Max $Q=a^3+b^3$ biết $a+b=a^2-ab+b^2$ 

 

46) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

Bài 41:Theo AM-GM có:$\sum \frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leq \sum \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x^3y^2}}=\sum \frac{1}{xy}\leq \sum \frac{1}{x^2}$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 12-02-2014 - 16:36

[Hoang Tung 126]

Bài 42:Theo AM-GM có:$\sum \frac{1}{a^2+bc}\leq \sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}}=\frac{\sum \sqrt{bc}}{2abc}\leq \frac{\sum a}{2abc}$

Dấu = xảy ra tại a=b=c=1

[Hoang Tung 126]

Bài 43:Ta có:$\sum \sqrt{x^2+xy+y^2}=\sum \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4}}\geq \sum \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}}=\sum \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}=\sqrt{3}(\sum x)=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$

 Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

[Kaito Kuroba]

 

46) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

 

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a}{2abc}\leq \frac{\sum a^3+6abc}{2abc}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Hoang Tung 126]

Bài 44:Theo Bunhiacopxki co:$\sum \sqrt{2x^2+xy+y^2}=\sum \sqrt{x^2+\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \sum \sqrt{x^2+\frac{3(x+y)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{4x^2+3(x+y)^2}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{(2x)^2+(x+y)^2+(x+y)^2+(x+y)^2}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{2x+x+y+x+y+x+y}{4}=\frac{1}{2}.\sum \frac{5x+3y}{4}=\sum x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 12-02-2014 - 16:48

[Hoang Tung 126]

Bài 45:Ta có:$a+b=a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2= > 4(a+b)\geq (a+b)^2= > a+b\leq 4$(Do $a+b\geq 0$)

$= > Q=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a+b)\leq 4.4=16$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=2