Ta có
$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{ab+b}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{ab+b}{2}\geq 6-3=3$
do dễ cm $\sum \frac{ab+b}{2}\leq 3$ với $a+b+c=3$
Mình đã làm bên trên và chi tiết hơn.
29) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+b}{1+a}\geq \sum ab$
Cách 1:
$\sum \frac{a+b}{1+a}=\sum [a+b-\frac{a(a+b)}{1+a}]=2\sum a-\sum \frac{a(a+b)}{1+a}$
Có: $(1+a)^2\geq 4a\Rightarrow \frac{1+a}{4}\geq \frac{a}{1+a}$
$\Rightarrow \frac{a(a+b)}{1+a}\leq \frac{(1+a)(1+b)}{4}=\frac{\sum a^2+ab+a+b}{4}\Rightarrow \sum \frac{a(a+b)}{1+a}\leq \frac{1}{4}(\sum a^2+\sum ab+2\sum a)=\frac{1}{4}((\sum a)^2-\sum ab+6)=\frac{1}{4}(15-\sum ab)$
$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}\geq 6-\frac{15}{4}+\frac{1}{4}\sum ab=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\sum ab$
Mà $9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{4}$
Vậy ta có đpcm.
Cách 2:
$\frac{a+b}{1+a}+\frac{(a+b)(1+a)}{4}\geq a+b$
$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{\sum a^2+\sum ab+2\sum a}{4}\geq 2\sum a\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{(\sum a)^2+2\sum a}{4}\geq 2\sum a+\frac{\sum ab}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}+\frac{15}{4}\geq 6+\frac{\sum ab}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{1+a}\geq \frac{\sum ab}{4}+\frac{9}{4}$
Mà $9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{4}$
Vậy ta có đpcm.