742 replies to this topic

[hoctrocuanewton]

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

 

dựa vào đk bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

áp dụng bđt schwars ta có :

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}b^{2}}{2ab+b^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{2}b+a^{2}b+c^{2}a\geqslant 3\sqrt[3]{a^{5}b^{2}c^{2}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum a^{2}b\geqslant \sum a(2)$

từ (1)(2) suy ra đpcm

Edited by hoctrocuanewton, 24-02-2014 - 19:48.

[Viet Hoang 99]

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}bc}{2ac+bc}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt{a^{6}b^{6}c^{6}}})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{9(abc)^{2}}{9abc}= abc(2)$

theo  điều kiện bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geqslant 1(3)$

từ (1)(2)(3) suy ra

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}\geqslant abc\geqslant 1$

vậy ta được đpcm

Bạn tưởng mình đăng đề giống nhau hả, xem lại đề đi. Có giống bài 85 đâu.

 

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

cách 2:

dựa vào đk bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

đến đây bài toán trở thành  bài 85

Cách 2 cái gì @@ ghép bài này vào bài đầu thì không ghép @@

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 13:04.

[hoctrocuanewton]

Vãi bạn, tưởng mình đăng đề giống nhau hả, xem lại đề đi. Có giống bài 85 đâu.

đề giống nhau mà , đk bài toán chỉ cần biến đổi là giống nhau mà

 

p/s: @viet hoang 99: đầu tiên mình tưởng là đề khác nhau , khi làm xong mới biết là giống nhau 

Edited by hoctrocuanewton, 24-02-2014 - 19:27.

[Viet Hoang 99]

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

cách 2:

dựa vào đk bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

đến đây bài toán trở thành  bài 85

Ghép bài này vào đầu bài này đi, làm thế ai mà hiểu

 

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}bc}{2ac+bc}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt{a^{6}b^{6}c^{6}}})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{9(abc)^{2}}{9abc}= abc(2)$

theo  điều kiện bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geqslant 1(3)$

từ (1)(2)(3) suy ra

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}\geqslant abc\geqslant 1$

vậy ta được đpcm

Bỏ cái chữ Cách 2 đi

 

94)
Cách 2:

Từ $GT\Rightarrow \sum \frac{1}{a}\leq 3$

Có: $\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{2a+b}{9}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3}\geq \frac{4}{3}a$ (Cauchy 4 số)

$\Rightarrow \sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq \frac{4}{3}\sum a-\sum \frac{a}{3}-\frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}-1\geq a+b+c-2$

Ta có: $\sum a.\sum \frac{1}{a}\geq 9$
Mà $\sum \frac{1}{a}\leq 3\Rightarrow \sum a\geq 3\Rightarrow \sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

Dấu = có khi: $a=b=c=1$

Edited by Viet Hoang 99, 24-02-2014 - 20:42.

[lahantaithe99]

 

cho các số thực x y z thỏa mãn xy+yz+xz=1

tìm min của

p=x^{2}+y^{2}+2z^{2}

         

 

Phiền bạn lần sau gõ Latex cho dễ nhìn.

Áp dụng bđt Cô si

Ta có $\frac{\sqrt{5}-1}{2}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2\geq (\sqrt{5}-1)xy$

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}x^2+z^2\geq (\sqrt{5}-1)xz$

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}y^2+z^2\geq (\sqrt{5}-1)yz$

Cộng theo từng vế ta có $x^2+y^2+2z^2\geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+zx)=\sqrt{5}-1$

[angleofdarkness]

92) Cho $x;y;z$ thỏa: $x^2+2y^2+2x^2z^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=9$. Tìm Min; Max $A=xyz$

 

 

92/ *N/x: $p^2$ chính đối với những dạng bài này thường là tìm cách lập một pt bậc II với ẩn mới lấy xyz làm tham số. Kĩ thuật này thuộc về phần phân tích đa thức thành nhân tử:

 

Ta có $x^2+2y^2+2x^2z^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=9 \Rightarrow 9 \geq 2|xyz|+2.2|xyz|+3x^2y^2z^2$ (Cauchy cho 2 số không âm $x^2;y^2z^2$ và $y^2;x^2z^2$)

 

Hay $9 \geq 6|A|+3A^2 \Rightarrow 3(A^2-|A|+3|A|-3) \leq 0 \Leftrightarrow (|A|-1)(|A|+3) \leq 0$

 

$\Rightarrow -3 \leq |A| \leq 1 \Rightarrow |A| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq A \leq 1$

 

Vậy Min A = -1; Max A = 1.

 

Dấu = ở Min và Max khi $x^2+2y^2+2x^2z^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=9$ và $x^2=y^2z^2;y^2=x^2z^2$

 

A Min khi (x; y; z) = (-1; -1; -1); (-1 ; 1; 1); (1; -1; 1); (1; 1; -1).

 

A Max khi (x; y; z) = (-1; -1; 1); (-1; 1; -1); (1; -1; -1); (1; 1; 1).

 

P\S: Bài này tìm lắm nghiệm kinh mà toàn là lặp  mất thì giờ quá.

 

[angleofdarkness]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

Edited by angleofdarkness, 26-02-2014 - 20:41.

[canhhoang30011999]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

100 $\frac{x^{7}}{x^{2}+y^{2}}= x^{5}-\frac{x^{5}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$\geq x^{5}-\frac{x^{4}y}{2}$

ta cần cm

$\sum x^{4}y\leq \sum x^{5}$

áp dụng bđt cô si ta có

$x^{5}+x^{5}+x^{5}+x^{5}+y^{5}\geq 5x^{4}y$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

[canhhoang30011999]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

97 $\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{4}}\leq \sum \frac{2x}{2x^{3}y^{2}}$$= \sum \frac{1}{x^{2}y^{2}}\leq \sum \frac{1}{x^{4}}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

[nguyentrungphuc26041999]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

98 

áp dụng bất đẳng thức côsi

$\frac{a^{5}}{b+c}+\frac{a^{3}\left ( b+c \right )}{4}\geq a^{4}$

mà  dễ chứng minh  $\sum a^{3}\left ( b+c \right )\leq 2\sum a^{4}$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$

tiếp tục côsi 

$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}$

thiết lập các bất đăng thức tương tự cộng lại ta có 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 3$

97 $\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{4}}\leq \frac{2x}{2x^{3}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

đến đây thì dễ rồi

[nguyentrungphuc26041999]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

97/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{2x}{x^6+y^4} \leq \sum \frac{1}{x^4}$

 

98/ Cho x; y; z > 0 và $\sum \frac{a^5}{b+c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum ab^2 \leq 3$

 

99/ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh $\sum (a+\frac{1}{b})^3 \geq \frac{375}{8}$

 

100/ Cho x; y; z > 0. Chứng minh $\sum \frac{x^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sum x^5}{2}$

99 

ta có 

$\sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \right )^{3}}{9}$

ta tìm min $\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )$

áp dụng bất đẳng thức côsi và bunhia

$\sum \left ( a+\frac{1}{a} \right )= \sum \left ( a+\frac{1}{4a} \right )+\sum \frac{3}{4a}\geq 3+\frac{27}{4\left ( a+b+c \right )}\geq \frac{15}{2}$

$\Rightarrow \sum \left ( a+\frac{1}{b} \right )^{3}\geq \frac{\left ( \frac{15}{2} \right )^{3}}{9}= \frac{375}{8}$

[angleofdarkness]

ta cần cm

$\sum x^{4}y\leq \sum x^{5}$

 

 

Chỗ màu đấy có thể làm gọn lại như sau:

 

Ta có $\frac{x^{7}}{x^{2}+y^{2}}=x^{5}-\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.x^4y \geq x^{5}-\frac{1}{2}.\frac{4x^5+y^5}{5}=\frac{3}{5}.x^5-\frac{1}{90}y^5$

 

Từ đó có $\sum \frac{x^{7}}{x^{2}+y^{2}} \geq \sum (\frac{3}{5}.x^5-\frac{1}{90}y^5)=\frac{\sum x^5}{2}$

Edited by angleofdarkness, 26-02-2014 - 20:16.

[lahantaithe99]

96/ Cho $0<x;y;z \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$

 

 

Áp dụng bđt Bunhia

 

 

$\sqrt{(x^2+\frac{1}{x^2})(1+4^2)}\geq x+\frac{4}{x}$

 

$\Rightarrow \sqrt{17}.\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\sum x+\sum \frac{4}{x}$

 

$\geq\sum x+\sum \frac{1}{4x}+\sum \frac{15}{4x}$

 

$\geq 3+\sum \frac{15}{4x}$ (áp dụng cô si)

 

$\geq 3+\frac{15.9}{4x+4y+4z}\geq 3+\frac{45}{2}=\frac{51}{2}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq \frac{51}{2\sqrt{17}}=\frac{3}{2}.\sqrt{17}$

Edited by lahantaithe99, 26-02-2014 - 20:39.

[angleofdarkness]

Nốt mấy bài cũ mn nhé:

 

93) Cho $x;y;z$ thỏa: $\sum x^4-3=2y^2(1-x^2)$. Tìm Min; Max $A=x^2+y^2$

 

95) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $(a+b)(a+c)=1$

Cmr:

a) $abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

b) $a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

[Thao Hien]

 

Nốt mấy bài cũ mn nhé:

 

93) Cho $x;y;z$ thỏa: $\sum x^4-3=2y^2(1-x^2)$. Tìm Min; Max $A=x^2+y^2$

 

95) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $(a+b)(a+c)=1$

Cmr:

a) $abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

b) $a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

 

93)

Đặt $x^2+y^2=t$ ($t\geq 0$) thì:
+) $PT\Leftrightarrow t^2-2t-3=-3x^2\leq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t-3)\leq 0\Leftrightarrow t\leq 3$

$\Rightarrow Max t=Max (x^2+y^2)=3\Leftrightarrow x=0;y=\pm \sqrt{3}$

 

+) $PT\Leftrightarrow t^2+t-3=3y^2+3\geq 3\Leftrightarrow t\geq \frac{\sqrt{13}-1}{2}$

$\Rightarrow Min t=Min (x^2+y^2)=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\Leftrightarrow y=0;x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}$

 

95)

a)$1=(a+b)(a+c)=a(a+b+c)+bc\geq 2\sqrt{abc(a+b+c)}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

 

b)$1=(a+b)(a+c)=a^2+(ab+bc+ca)=a^2+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2(ab+bc+ca)^2}{4}}\Rightarrow a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

[Thao Hien]

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

103) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a\sqrt{ac}$

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 18:03.

[Kaito Kuroba]

 

 

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

 

 

vì $a+b+c=1$ nên bdt trở thành: $\sum \sqrt{a+bc}\geq \sum a+\sum \sqrt{ab}$

và ta dễ dàng CM được: $\sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{ab}$

(chỉ cần BP 2 vế và sử dụng ĐK $a+b+c=1$ là OK!)

 

từ đây suy ĐPCM.

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[Phuong Thu Quoc]

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

103) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a\sqrt{ac}$

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

101/ $\sqrt{a^{4}+a^{2}}=a\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}\leq a.\frac{2a+b+c}{2}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vào ta dược đpcm

102/Tương tự 101

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 18:03.

[Phuong Thu Quoc]

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

103) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a\sqrt{ac}$

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

105) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}$. Tìm Min $A=x+y+z$

104/ Giả sử $a\geq b\geq c$

AD Chebyshev và AM-GM ta được $\sum \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{c}\geq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 18:03.

[Thao Hien]

Mình là Viet Hoang 99 đây.

 

 

101) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a^4+a^2}\leq 1+\sum a^2$

 

102) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $\sum \sqrt{a+bc}\geq 1+\sum \sqrt{ab}$

 

 

 

104) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}$

 

 

 

vì $a+b+c=1$ nên bdt trở thành: $\sum \sqrt{a+bc}\geq \sum a+\sum \sqrt{ab}$

và ta dễ dàng CM được: $\sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{ab}$

(chỉ cần BP 2 vế và sử dụng ĐK $a+b+c=1$ là OK!)

 

từ đây suy ĐPCM.

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Có thể CM như sau:
$a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)\geq (\sqrt{bc}+a)^2$ (BCS)

 

104/ Giả sử $a\geq b\geq c$

AD Chebyshev và AM-GM ta được $\sum \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{c}\geq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

104)

Cách 2:

$\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c}=\sum \frac{a^2+b^2}{c}-\sum a\geq \frac{2ab}{c}-\sum a$

Có: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b\Rightarrow \sum 2\frac{ab}{c}\geq 2a$

$\Rightarrow VT\geq \sum a\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

= khi: $a=b=c=1$

Edited by Viet Hoang 99, 28-03-2014 - 18:04.