742 replies to this topic

[Hoang Tung 126]

Đăng bài đi Việt Hoàng

[angleofdarkness]

Đăng bài đi Việt Hoàng

 

Anh xử nốt bài 70 kia đi để em đăng bài lên vậy, làm cho xong rồi đăng bài mới luôn.

Edited by angleofdarkness, 22-02-2014 - 18:07.

[Viet Hoang 99]

70) Cho $x;y>0$ thỏa: $(x+y-1)^2=xy$. Tìm Min $P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

 

Đề tuyển sinh lớp 10 THPT Thái Bình đây
 

70) 

$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}\leq 1\Rightarrow \frac{2xy}{(x+y)^2}\leq \frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

$(x+y-1)^2=xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$

$\Rightarrow x+y-1\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow x+y\leq 2$

Xét: $P=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+2\sqrt{\frac{\sqrt{xy}}{2xy(x+y)}}\geq 1+2\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{xy}(x+y)}}\geq 1+2\sqrt{\frac{1}{(x+y)^2}}=1+\frac{2}{x+y}\geq 1+1=$
Dấu = có khi: $x=y=1$

[Viet Hoang 99]

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$
 

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

75) Cho $x+y\geq 3$; $x\leq 1$. Tìm Min $B=3x^2+y^2+3xy$

 

76) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

Edited by Viet Hoang 99, 23-02-2014 - 15:59.

[angleofdarkness]

Làm ngược từ dưới lên

 

 

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

 

 

Ta có $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{ab} \geq \frac{2}{b^2}$ (Cauchy 2 số) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}+\sum \frac{1}{ab} \geq 2\sum \frac{1}{a^2}$ (1)

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{2}{ab}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$ (2)

 

Mà có a + b + c = abc $\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=1$ 

 

Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3} \geq 1$ (bước này hơi tắt)

 

Dấu = khi a = b = c = $\sqrt{3}$.

Edited by angleofdarkness, 22-02-2014 - 20:57.

[angleofdarkness]

76) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

 

Xét tổng $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b) \\ =a^4-a^3-a+1+b^4-b^3-b+1 \\ =(a-1)(a^3-1)+(b-1)(b^3-1) \\ =(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)$

 

Dễ thấy $a^2+a+1>0;b^2+b+1>0$ nên có $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b)\geq 0$

 

Mà có $a+b \geq 2$ nên $2-a-b \leq 0$ $\Rightarrow a^4+b^4-a^3-b^3 \geq 0 \Rightarrow a^4+b^4 \geq a^3-b^3$ (đpcm) 

 

Dấu = khi a = b = 1.

 

P/S: toàn quên cái dấu = nên phải sửa bài viết suốt   

Edited by angleofdarkness, 22-02-2014 - 21:11.

[angleofdarkness]

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

 

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y \\ =(y^3-6y^2+9y)-(x^3+x^2) \\ =y(y-3)^2-x^2(x+1) \\ =(3-x)x^2-x^2(x+1) \\ =2x^2(1-x) \geq 0$ 

 

Dấu = khi x = 1; y = 2 hoặc x = 0; y = 3.

Edited by angleofdarkness, 23-02-2014 - 16:10.

[hoctrocuanewton]

 

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

 ta có

$\sum (x^{2}+1)\geqslant 2(x+y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2$

áp dụng bđt cô si ta có :

$x^{5}+3x\geqslant 4\sqrt[4]{x^{8}}=4x^{2}$

cmtt ta có  

$x^{5}+y^{5}+3(x+y)\geqslant 4(x^{2}+y^{2})\geqslant 8$

$\Rightarrow x^{5}+y^{5}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

[angleofdarkness]

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$

 

 

Cách 2: Cauchy 5 số

 

$x^5+4=x^5+1+1+1+1 \geq 5x \Rightarrow x^5+y^5 \geq 5x + 5y - 2.4 = 5.2 - 8 = 2$

 

Dấu = khi x = y = 1.

Edited by angleofdarkness, 22-02-2014 - 21:29.

[angleofdarkness]

 

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

 

Ta có $(3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha)^2 \leq [3^2+(\sqrt{3})^2].(\sin \alpha^2+\cos \alpha^2)=12$

 

$\Rightarrow -12 \leq 3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha \leq 12$

 

$\Rightarrow Max P = 12$ 

Edited by angleofdarkness, 22-02-2014 - 22:19.

[canhhoang30011999]

 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$

 

đặt $x=4-a(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

[canhhoang30011999]

 

 

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

 

$a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$

ta cần cm $\frac{(a+b)^{2}}{2}\geq a+b$(1)

đặt t=a+b ta có $t^{2}\geq 4ab\geq 4$

$\Rightarrow$$t\geq 2$hoặc $t\leq - 2$

ta có $(1)\Leftrightarrow t(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

[angleofdarkness]

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

 

đặt $x=4-a(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

 

Cách khác: tham khảo cụ thể ở pic này

[Viet Hoang 99]

 

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$
 

 

 

 

Ta có $(3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha)^2 \leq [3^2+(\sqrt{3})^2].(\sin \alpha^2+\cos \alpha^2)=12$

 

$\Rightarrow -12 \leq 3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha \leq 12$

 

$\Rightarrow Max P = 12$ 

khi $\alpha =60^o$

 

 

 ta có

$\sum (x^{2}+1)\geqslant 2(x+y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2$

áp dụng bđt cô si ta có :

$x^{5}+3x\geqslant 4\sqrt[4]{x^{8}}=4x^{2}$

cmtt ta có  

$x^{5}+y^{5}+3(x+y)\geqslant 4(x^{2}+y^{2})\geqslant 8$

$\Rightarrow x^{5}+y^{5}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

 

 

Cách 2: Cauchy 5 số

 

$x^5+4=x^5+1+1+1+1 \geq 5x \Rightarrow x^5+y^5 \geq 5x + 5y - 2.4 = 5.2 - 8 = 2$

 

Dấu = khi x = y = 1.

72)
Cách 3: 
Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1+a & & \\ y=1-a & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=2$ 
($a\geq 0$)

$\Rightarrow x^5+y^5=(1+a)^5+(1-a)^5=10a^4+20a^2+2\geq 2$

Dấu = có khi: $a=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

73) đặt $x=4-a$ $(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

$a\geq 0$ nha bạn.

Dấu = xảy ra khi: $a=0\Leftrightarrow x=4$

Edited by Viet Hoang 99, 23-02-2014 - 16:10.

[Viet Hoang 99]

 

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

 

 

 

Làm ngược từ dưới lên 

 

 

 

 

Ta có $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{ab} \geq \frac{2}{b^2}$ (Cauchy 2 số) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}+\sum \frac{1}{ab} \geq 2\sum \frac{1}{a^2}$ (1)

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{2}{ab}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$ (2)

 

Mà có a + b + c = abc $\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=1$ 

 

Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3} \geq 1$ (bước này hơi tắt)

 

Dấu = khi a = b = c = $\sqrt{3}$.

Bắc cầu thì nên suy ra từ ngay 1 cái cầu, đừng để kiểu vậy, đơ đơ

 

 

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

 

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y$ $=(y^3-6y^2+9y)$  $=y(y-3)^2-x^2(x+1)$ $=(3-x)$ $(-x)^2$ $-x^2(x+1)$ $=2x^2(1-x) \geq 0$ 

 

Dấu = khi x = 1; y = 2.

 

Fix đi @@ 

Dễ hiểu tý.

Dấu = thiếu 

74) 

Cách 2:

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ y=2+a & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=3$

($a\geq 0$)

 

Có: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y=(2+a)^3-(1-a)^3-6(2+a)^2-(1-a)^2+9(2+a)=2a(a^2-2a+1)\geq 0 \forall a\geq 0$

Dấu = có khi: $\begin{bmatrix}x=1;y=2 & & \\ x=0;y=3 & & \end{bmatrix}$
 

 

 

 

 

Edited by Viet Hoang 99, 23-02-2014 - 16:12.

[Viet Hoang 99]

75) Cho $x+y\geq 3$; $x\leq 1$. Tìm Min $B=3x^2+y^2+3xy$

 

75) 

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ y=2+b & & \end{matrix}\right.$

($a;b\geq 0$)
Có: $B=3(1-a)^2+(2+b)^2+3(1-a)(2+b)=a^2-5a+13\geq \frac{27}{4}$

Dấu = có khi: $a=b=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2};y=\frac{9}{2}$

 

P/s: Các bạn làm bài ghi số thứ tự bài vào giùm.

Edited by Viet Hoang 99, 07-06-2014 - 10:53.

[angleofdarkness]

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ x+y=3+b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y=a+b+2$

($a\geq 0$;$a+b\geq 0$)

$\Rightarrow B=3x^2+y^2+3xy=3(1-a)^2+(a+b+2)^2+3(1-a)(a+b+2)=\frac{(2a-b-5)^2}{4}+\frac{3}{4}(b+3)^2\geq 0$

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Chỗ ($a\geq 0$;$a+b\geq 0$) chưa chắc đúng vì nếu giả sử b < 0. a > b và $a\geq 0$thì a + b > 0, chỗ này cần chỉ ra cụ thể hơn là $b \geq 0$

 

Biến đổi để chỉ ra $B \geq 0$ tắt quá, dấu = thì k xảy ra, vì vậy chưa tìm đc Min B.

[Viet Hoang 99]

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

81) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{2}{x+y}\geq \frac{9}{x+y+z}$

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

83) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{x}{x+2y+3z}\geq \frac{1}{2}$

 

84) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ 3(ab+bc+ca)=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{a^2-bc+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Edited by Viet Hoang 99, 23-02-2014 - 22:54.

[Viet Hoang 99]

Chỗ ($a\geq 0$;$a+b\geq 0$) chưa chắc đúng vì nếu giả sử b < 0. a > b và $a\geq 0$thì a + b > 0, chỗ này cần chỉ ra cụ thể hơn là $b \geq 0$

 

Biến đổi để chỉ ra $B \geq 0$ tắt quá, dấu = thì k xảy ra, vì vậy chưa tìm đc Min B.

 

 

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ x+y=3+b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y=a+b+2$

($a\geq 0$;$a+b\geq 0$)

$\Rightarrow B=3x^2+y^2+3xy=3(1-a)^2+(a+b+2)^2+3(1-a)(a+b+2)=\frac{(2a-b-5)^2}{4}+\frac{3}{4}(b+3)^2\geq 0$

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

P/s: Các bạn làm bài ghi số thứ tự bài vào giùm.

 

 

Bài 75: Đã fix

Edited by Viet Hoang 99, 23-02-2014 - 22:36.

[angleofdarkness]

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

 

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

1. $a\geq 0; a+b\geq 0$ là do: $1-a\leq 1;a+b+2\geq 2$ . Nếu $b\geq 0$ mới là chưa chắc.

2. Dấu = đã đúng.

 

 

Không bảo sai,chỉ là không xảy ra dâu = thôi vì có $x \leq 1;y \geq 2$ nên không thể có x = y = 0.

Edited by angleofdarkness, 23-02-2014 - 16:29.