742 replies to this topic

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}$

[the man]

Cho a, b, c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}$

Dễ thấy $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

Theo Cauchy-Schwarz 

$(a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq (ab+bc+ca)^2$

 $\Rightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}\leq \frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\leq \frac{a+b+c}{4}$

[an1907]

$\frac{bc}{a + abc} = \frac{bc}{\left ( a + b \right ) + \left ( a + c \right )} \leq \frac{bc}{4}\left ( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} \right ) = \frac{1}{4}\left ( \frac{bc}{a + b} + \frac{bc}{a + c} \right )$.

Cộng các vế lại ta dc bđt ở bên trái

Edited by an1907, 28-08-2015 - 20:00.

[an1907]

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh :

$a, \frac{y + z}{x + \sqrt[3]{4\left ( y^{3} + z^{3} \right )}} + \frac{z + x}{y + \sqrt[3]{4\left ( z^{3} + x^{3} \right )}} + \frac{x + y}{z + \sqrt[3]{4\left ( x^{3} + y^{3} \right )}} \leq 2$

$b, \frac{a^{3}}{a + b} + \frac{b^{3}}{b + c} + \frac{c^{3}}{c + a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}$

Edited by an1907, 29-08-2015 - 18:33.

[PHHsmlie]

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh :

$b, \frac{a^{3}}{a + b} + \frac{b^{3}}{b + c} + \frac{c^{3}}{c + a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}$

Áp dụng cauchy schwarz:

$VT=\sum \frac{a^4}{a^2+ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Edited by PHHsmlie, 29-08-2015 - 22:16.

[an1907]

Tìm GTLN của : $A = \frac{\sqrt[3]{\left ( x^{2} + 1 \right )^{2}\left ( x^{2} + 3 \right )}}{3x^{2} + 4}$

[an1907]

Cho $x, y, z > 0$ thoả mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{x^{2}\left ( y + z \right )}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}\left ( y + z \right )}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}\left ( x + y \right )}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$

[an1907]

Tìm GTLN và GTNN của :

a, $P = \frac{\left ( x - y \right )\left ( 1 - xy \right )}{\left ( 1 + x \right )^{2}\left ( 1 + y \right )^{2}}$ với $x, y$ là 2 số thực không âm

b, $f\left ( x \right ) = x\left ( 1993 + \sqrt{1995 - x^{2}} \right )$ trên miền xác định của nó

[an1907]

Cho 3 số dương $x, y, z$ thoả mãn $x \geq max\left \{ y, z \right \}$. Tìm GTNN :

$P = \frac{x}{y} + 2\sqrt{1 + \frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{1 + \frac{z}{x}}$

[an1907]

Cho $a, b, c$ là các số thực thoả mãn $abc = -1$. Tìm GTNN của :

$P = \left ( \left | ab \right | + \left | bc \right | + \left | ca \right | \right )\left ( 15\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} - 7\left ( a + b + c \right ) \right )$

[trangkhy2406]

Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:

$\frac{a^4}{b^2\left ( c+a \right )}+\frac{b^4}{c^2\left ( a+b \right )}+\frac{c^4}{a^2\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{2}$

[PHHsmlie]

Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:

$\frac{a^4}{b^2\left ( c+a \right )}+\frac{b^4}{c^2\left ( a+b \right )}+\frac{c^4}{a^2\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng AM GM cho 2 số:

$\frac{4a^4}{b^2(c+a)}+c+a\geq \frac{4a^2}{b}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta có:

$\sum \frac{4a^4}{b^2(c+a)}+2(a+b+c)\mathop \ge \limits^{AM - GM}\sum \frac{4a^2}{b}\mathop \ge \limits^{cauchy schwarz}4(a+b+c)$

Từ đây suy ra đpcm.

Edited by PHHsmlie, 30-08-2015 - 20:15.

[an1907]

Cho $x, y, z \geq 0$ và $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$. Tìm GTLN :

$P = \frac{x^{2}}{2x^{2} + 2yz + 1} + \frac{y^{2}}{2y^{2} + 2zx + 1} + x + y$

[an1907]

Cho $0 < a, b, c \leq 6$ và $a^{2}b^{2}c^{2} = (6 - a)(6 - b)(6 - c)$. Tìm GTLN của : $P = abc$

[locnguyen2207]

Chứng minh rằng nếu $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số thực dương thì:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2} +...+ a_{n}^{2}} +...+ \frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2} +...+ a_{n - 1}^{2}} \geq \frac{a_{1}}{a_{2} +...+ a_{n}} +...+ \frac{a_{n}}{a_{1} +...+ a_{n - 1}}$

[an1907]

Cho $x, y > 0$ và $x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$. CMR: $2 \geq x + y \geq x^{2} + y^{2} \geq x^{3} + y^{3}$

[thanhan2000]

Cho $x \geq xy + 1$. Tìm GTLN của : $P = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$

[an1907]

Cho $\Delta ABC$ có $\angle C$ không nhọn. Đặt $BC = a, CA = b, AB = c$. Hãy tìm GTNN của:

$P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$

[an1907]

Cho $x^{2} - 2xy + 3y^{2} = 4$. Tìm GTNN, GTLN của : $P = x^{2} + y^{2}$