Chủ đề này có 742 trả lời

[CandyPanda]

ko doi xung dau ban

Không đối xứng thì làm sao được nhỉ ? Hoặc sẽ rất khó

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c không âm. Chứng minh rằng $\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}}$

[nguyenhongsonk612]

bai nay nua ne    

cho x,y,z >0 x*y*z=1 tim min$P=\frac{x^{2}\ast \left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^{2}\ast (z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^{2}\ast (x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Giải

Áp dụng $AM-GM$ ta có 

$\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq \sum \frac{x^2.2\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum \frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{z}=c$

$\Rightarrow P=2\begin{pmatrix} \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \end{pmatrix}\geq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq 2$

Vậy $P$ min $=2$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-04-2015 - 10:52

[kudoshinichihv99]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR:

$\sum (a+b^2)\leq 13+abc$

[kudoshinichihv99]

Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn Cx+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c

Tìm min P=$\sum \frac{x^2}{1+x}$

[Ngoc Hung]

Cho a, b, > 0 và $a^{2}+b^{2}=1$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}\geq 2\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 28-04-2015 - 15:56

[an1712]

Cho a, b, > 0 và $a^{2}+b^{2}=1$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{a}}-\sqrt{\frac{b}{c}} \right )^{2}\geq 2\sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{a}{a}}$ có nhầm j ko ạ

[demon311]

Cho a, b, > 0 và $a^{2}+b^{2}=1$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}\geq 2\sqrt{2}$

 

$ab \le \dfrac{ 1}{2}$

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2} = \dfrac{ 1}{a}+\dfrac{ 1}{b}-\dfrac{ a}{b}-\dfrac{ b}{a}+2=\dfrac{ a+b-a^2-b^2}{ab}+2=\dfrac{ a+b-1}{ab}+2 \\ \ge \dfrac{ 1}{\sqrt[]{ ab}}-\dfrac{ 1}{ab}+2=2\sqrt[]{ 2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demon311: 28-04-2015 - 16:23

[tuananh2000]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR:

$\sum (a+b^2)\leq 13+abc$

Đề hình như nhầm nếu như vậy thì dễ quá 

$\sum (a+b^{2})=3+\sum a^{2}\leq 3+(\sum a)^{2}=12<13$

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c, d, x, y > 0 và $x\geq y$. Chứng minh rằng $\frac{a}{xb+yc}+\frac{b}{xc+yd}+\frac{c}{xd+ya}+\frac{d}{xa+yb}\geq \frac{4}{x+y}$

[Lychee]

Cho a, b, c không âm. Chứng minh rằng $\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}}$

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau: với a,b,c,x,y,z dương, ta có:

 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq 2\sqrt{ax+by+cz}$

 Khá hiển nhiên:

 VT$\geq 2\sqrt[4]{({a^{2}+b^{2}+c^{2})}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq$ VP (BĐT BCS).

 Áp dụng trực tiếp vào bài toán và lựa chọn các cặp biến phù hợp.

[Lychee]

Cho a, b, c, d, x, y > 0 và $x\geq y$. Chứng minh rằng $\frac{a}{xb+yc}+\frac{b}{xc+yd}+\frac{c}{xd+ya}+\frac{d}{xa+yb}\geq \frac{4}{x+y}$Cách 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lychee: 05-05-2015 - 23:03

[Ngoc Hung]

Cho x không âm. Chứng minh rằng $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

[congdaoduy9a]

Áp dụng trực tiếp BĐT Schwartz:$VT\geq \frac{\left ( a+b+c+d \right )^{2}}{\left ( ab+bc+cd+da \right )\left ( x+y \right )}\geq \frac{4}{x+y}=VP$

 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d.

 Không biết em sai ở đâu không mà em chưa dùng được ĐK $x\geq y$

 

 

Sai rồi bạn tử các phân thức có là bình phương đâu mà Cauchy Schwartz

[the man]

Sai rồi bạn tử các phân thức có là bình phương đâu mà Cauchy Schwartz

Bạn ấy làm tắt chút thôi

Bạn nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở VT lần lượt với $a,b,c$ là có bình phương ngay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 05-05-2015 - 22:38

[congdaoduy9a]

À sai ở chỗ $(a+b+c+d)^{2}\geq 4(ab+bc+cd+da)$

Nên lập TOPIC mới thì hơn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 05-05-2015 - 22:41

[Lychee]

À sai ở chỗ $(a+b+c+d)^{2}\geq 4(ab+bc+cd+da)$

Nên lập TOPIC mới thì hơn .

cảm ơn bạn, mình làm nhầm.

[Lychee]

Cho x không âm. Chứng minh rằng $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Em xin phép làm nốt bài của bac Ngoc Hung:

 $VP= \sqrt{\frac{x+9}{x+1}}.\sqrt{x+1}=\sqrt{\left ( \frac{8}{x+1}+1) \right\left ( x+1 \right ) }\geq VT$ (theo BĐT BCS)

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:  x=1/7.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lychee: 12-05-2015 - 00:03

[Ngoc Hung]

Cho $a,b\geq 1$ và $a+b\leq 4$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$

[hoctrocuaZel]

Cho $a,b\geq 1$ và $a+b\leq 4$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$

$\frac{a^4}{(b-1)^3}+16(b-1)+16(b-1)+16(b-1)\geqslant 32a\Rightarrow LHS\geqslant 32$