Cho a, b, c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}$
$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị
#621
Đã gửi 13-05-2015 - 02:26
#622
Đã gửi 13-05-2015 - 06:45
Cho a, b, c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}$
Dễ thấy $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Theo Cauchy-Schwarz
$(a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq (ab+bc+ca)^2$
$\Rightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
- Ngoc Hung, lehoangphuc1820, hoctrocuaZel và 1 người khác yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#623
Đã gửi 13-05-2015 - 16:04
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}\leq \frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\leq \frac{a+b+c}{4}$
- congdan9aqxk, the man và Hoang Nhat Tuan thích
#624
Đã gửi 28-08-2015 - 19:53
$\frac{bc}{a + abc} = \frac{bc}{\left ( a + b \right ) + \left ( a + c \right )} \leq \frac{bc}{4}\left ( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} \right ) = \frac{1}{4}\left ( \frac{bc}{a + b} + \frac{bc}{a + c} \right )$.
Cộng các vế lại ta dc bđt ở bên trái
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1907: 28-08-2015 - 20:00
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 2 người khác yêu thích
#625
Đã gửi 29-08-2015 - 18:33
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh :
$a, \frac{y + z}{x + \sqrt[3]{4\left ( y^{3} + z^{3} \right )}} + \frac{z + x}{y + \sqrt[3]{4\left ( z^{3} + x^{3} \right )}} + \frac{x + y}{z + \sqrt[3]{4\left ( x^{3} + y^{3} \right )}} \leq 2$
$b, \frac{a^{3}}{a + b} + \frac{b^{3}}{b + c} + \frac{c^{3}}{c + a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1907: 29-08-2015 - 18:33
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 2 người khác yêu thích
#626
Đã gửi 29-08-2015 - 22:08
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh :
$b, \frac{a^{3}}{a + b} + \frac{b^{3}}{b + c} + \frac{c^{3}}{c + a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}$
Áp dụng cauchy schwarz:
$VT=\sum \frac{a^4}{a^2+ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PHHsmlie: 29-08-2015 - 22:16
- nguyen22072000 yêu thích
#627
Đã gửi 30-08-2015 - 13:25
Tìm GTLN của : $A = \frac{\sqrt[3]{\left ( x^{2} + 1 \right )^{2}\left ( x^{2} + 3 \right )}}{3x^{2} + 4}$
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 3 người khác yêu thích
#628
Đã gửi 30-08-2015 - 13:29
Cho $x, y, z > 0$ thoả mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN của :
$P = \frac{x^{2}\left ( y + z \right )}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}\left ( y + z \right )}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}\left ( x + y \right )}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 3 người khác yêu thích
#629
Đã gửi 30-08-2015 - 13:34
Tìm GTLN và GTNN của :
a, $P = \frac{\left ( x - y \right )\left ( 1 - xy \right )}{\left ( 1 + x \right )^{2}\left ( 1 + y \right )^{2}}$ với $x, y$ là 2 số thực không âm
b, $f\left ( x \right ) = x\left ( 1993 + \sqrt{1995 - x^{2}} \right )$ trên miền xác định của nó
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 3 người khác yêu thích
#630
Đã gửi 30-08-2015 - 13:37
Cho 3 số dương $x, y, z$ thoả mãn $x \geq max\left \{ y, z \right \}$. Tìm GTNN :
$P = \frac{x}{y} + 2\sqrt{1 + \frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{1 + \frac{z}{x}}$
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 3 người khác yêu thích
#631
Đã gửi 30-08-2015 - 13:40
Cho $a, b, c$ là các số thực thoả mãn $abc = -1$. Tìm GTNN của :
$P = \left ( \left | ab \right | + \left | bc \right | + \left | ca \right | \right )\left ( 15\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} - 7\left ( a + b + c \right ) \right )$
- thanhan2000, nguyen22072000, locnguyen2207 và 3 người khác yêu thích
#632
Đã gửi 30-08-2015 - 16:33
Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
$\frac{a^4}{b^2\left ( c+a \right )}+\frac{b^4}{c^2\left ( a+b \right )}+\frac{c^4}{a^2\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{2}$
#633
Đã gửi 30-08-2015 - 20:09
Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
$\frac{a^4}{b^2\left ( c+a \right )}+\frac{b^4}{c^2\left ( a+b \right )}+\frac{c^4}{a^2\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng AM GM cho 2 số:
$\frac{4a^4}{b^2(c+a)}+c+a\geq \frac{4a^2}{b}$
Thiết lập các BĐT tương tự ta có:
$\sum \frac{4a^4}{b^2(c+a)}+2(a+b+c)\mathop \ge \limits^{AM - GM}\sum \frac{4a^2}{b}\mathop \ge \limits^{cauchy schwarz}4(a+b+c)$
Từ đây suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PHHsmlie: 30-08-2015 - 20:15
- trangkhy2406 yêu thích
#634
Đã gửi 30-08-2015 - 22:09
Cho $x, y, z \geq 0$ và $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$. Tìm GTLN :
$P = \frac{x^{2}}{2x^{2} + 2yz + 1} + \frac{y^{2}}{2y^{2} + 2zx + 1} + x + y$
- hsNamHong, thanhan2000, nguyen22072000 và 5 người khác yêu thích
#635
Đã gửi 30-08-2015 - 22:11
Cho $0 < a, b, c \leq 6$ và $a^{2}b^{2}c^{2} = (6 - a)(6 - b)(6 - c)$. Tìm GTLN của : $P = abc$
- hsNamHong, thanhan2000, nguyen22072000 và 5 người khác yêu thích
#636
Đã gửi 31-08-2015 - 08:36
Chứng minh rằng nếu $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số thực dương thì:
$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2} +...+ a_{n}^{2}} +...+ \frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2} +...+ a_{n - 1}^{2}} \geq \frac{a_{1}}{a_{2} +...+ a_{n}} +...+ \frac{a_{n}}{a_{1} +...+ a_{n - 1}}$
- hsNamHong, 30 minutes, an1907 và 5 người khác yêu thích
#637
Đã gửi 31-08-2015 - 20:11
Cho $x, y > 0$ và $x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$. CMR: $2 \geq x + y \geq x^{2} + y^{2} \geq x^{3} + y^{3}$
- hsNamHong, thanhan2000, nguyen22072000 và 5 người khác yêu thích
#638
Đã gửi 31-08-2015 - 21:56
Cho $x \geq xy + 1$. Tìm GTLN của : $P = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$
#639
Đã gửi 31-08-2015 - 21:59
Cho $\Delta ABC$ có $\angle C$ không nhọn. Đặt $BC = a, CA = b, AB = c$. Hãy tìm GTNN của:
$P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$
- hsNamHong, thanhan2000, nguyen22072000 và 5 người khác yêu thích
#640
Đã gửi 31-08-2015 - 22:15
Cho $x^{2} - 2xy + 3y^{2} = 4$. Tìm GTNN, GTLN của : $P = x^{2} + y^{2}$
- hsNamHong, thanhan2000, nguyen22072000 và 5 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh