Chủ đề này có 742 trả lời

[canhhoang30011999]

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

81) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{2}{x+y}\geq \frac{9}{x+y+z}$

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

83) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{x}{x+2y+3z}\geq \frac{1}{2}$

 

84) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ 3(ab+bc+ca)=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{a^2-bc+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

81 $\sum \frac{2}{x+y}\geq 2\frac{9}{2(x+y+z)}= \frac{9}{x+y+z}$(bđt bcs)

dấu = xảy ra x=y=z

[canhhoang30011999]

 

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

82 $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng vế vế ta có đpcm

dấu = xảy ra lhi và chỉ khi a=b=c

[canhhoang30011999]

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

[canhhoang30011999]

 

 

83) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{x}{x+2y+3z}\geq \frac{1}{2}$

 

 

83 $\sum \frac{x}{x+2y+3z}= \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2xy+3xz}$$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+3(xy+yz+zx)}$

ta cần cm $\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+3(xy+yz+zx)}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$(luôn đúng)

dấu = xay ra khi và chỉ khi x=y=z

[angleofdarkness]

80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

 

80/

 

C/m BĐT $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ (*):

 

Từ BĐT $\sum a^2 \geq \sum ab$ (đã c/m) ta có $\sum a^2 + 2\sum ab \geq \sum ab + 2\sum ab$, tức là $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

 

(*) đc c/m.

 

Ta có $\frac{a}{pb+qc}=\frac{a^2}{(pb+qc)a}=\frac{a^2}{pab+qca}$

 

$\Rightarrow  \sum \frac{a}{pb+qc}=\sum \frac{a^2}{pab+qca} \geq \frac{(a+b+c)^2}{pab+qca+pbc+qab+pca+qab}$ (BĐT Schwarz)

 

Hay $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)(p+q)}$ (nhóm các số ở mẫu vào theo từng cặp thích hợp)

 

Áp dụng BĐT (*) ta có $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(p+q)}=\frac{3}{p+q}$

 

$\Rightarrow$ đpcm.

 

Dấu = khi a = b = c > 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 23-02-2014 - 17:32

[angleofdarkness]

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ với x; y ; z > 0, từ abc = 1 ta cũng có xyz = 1.

 

Biến đổi $\frac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}.(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}$ (do xyz = 1)

 

$\Rightarrow  \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum(y+z)}(Schwarz) \\ =\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}(Cauchy)=\frac{3}{2}$

 

$\Rightarrow$ đpcm.

 

Dấu = khi a = b = c = 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 23-02-2014 - 17:48

[lahantaithe99]

 

84) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ 3(ab+bc+ca)=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{a^2-bc+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Lâu ròi ko lên diễn đàn

$\sum \frac{a}{a^2-bc+1}=\sum \frac{a}{a^2+3ac+3ab+2bc}=\sum \frac{a^2}{a^3+3a^2c+3a^2b+2abc}$

$\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}$ (áp dụng bđt S.Vac)

$= \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3}=\frac{1}{a+b+c}$

[hoctrocuanewton]

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

 cách 2:

  áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}= \sum (\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{a+b})= \sum \frac{a^{2}}{b+a}+\sum \frac{b^{2}}{a+b}\geqslant 2.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=a+b+c$

[Viet Hoang 99]

Không bảo sai,chỉ là không xảy ra dâu = thôi vì có $x \leq 1;y \geq 2$ nên không thể có x = y = 0.

 

Đã fix.

 

 

 

81 $\sum \frac{2}{x+y}\geq 2\frac{9}{2(x+y+z)}= \frac{9}{x+y+z}$(bđt bcs)

dấu = xảy ra x=y=z

BCS dạng cộng mẫu. ($x=y=z>0$)

 

 

82 $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng vế vế ta có đpcm

dấu = xảy ra lhi và chỉ khi a=b=c

$a=b=c>0$

 

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

79)

 

Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ với x; y ; z > 0, từ abc = 1 ta cũng có xyz = 1.

 

Biến đổi $\frac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}.(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}$ (do xyz = 1)

 

$\Rightarrow  \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum(y+z)}(Schwarz) \\ =\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}(Cauchy)=\frac{3}{2}$

 

$\Rightarrow$ đpcm.

 

Dấu = khi a = b = c = 1.

 

Cách 3:

$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{3}{2}$ (*)

Mà: $\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy (*) LĐ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 22:57

[Viet Hoang 99]

85) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\geq 1$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

86) Cho $a;b;c\geq 0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $ab+bc+ca\geq 8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

 

87) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\leq 1$. Cmr: $\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

 

88) Tìm Min $A=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{x^4+2x^2+5}+(x-1)^2$

 

89) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa: $a+b+c+d=1$. Tìm Min $A=\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

 

90) Tìm Min; Max của $(xy)$ biết $x;y$ là nghiệm của pt: $x^4+y^4-3=xy(1-2xy)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 24-02-2014 - 18:46

[hoctrocuanewton]

85) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\geq 1$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

 

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}b^{2}}{2ab+b^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{2}b+a^{2}b+c^{2}a\geqslant 3\sqrt[3]{a^{5}b^{2}c^{2}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum a^{2}b\geqslant \sum a(2)$

từ (1)(2) suy ra đpcm

[hoctrocuanewton]

 

87) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\leq 1$. Cmr: $\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

 

 

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}= 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{abc}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

vậy ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-02-2014 - 00:03

[hoctrocuanewton]

 

89) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa: $a+b+c+d=1$. Tìm Min $A=\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

 

áp dụng bđt buniacôpski ta có

$\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{3}}\geqslant \frac{\sum a^{4}}{\sqrt{\sum a^{4}.\sum a^{2}}}= \sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{4}+\frac{1}{256}\geqslant \frac{a^{2}}{8}$

cmtt ta có

$\sum a^{4}+\frac{1}{64}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}-\frac{1}{64}(2)$

ta lại có

$\sum (a^{2}+\frac{1}{16})\geqslant \frac{1}{2}\sum a\Rightarrow \sum a^{2}\geqslant \frac{1}{4}(3)$

 

từ (1)(2)(3) ta có

$\sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{8\sum a^{2}}-\frac{1}{64\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{1}{8}-\frac{1}{16}}= \frac{1}{4}$

 

vậy MinA=$\frac{1}{4}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-02-2014 - 00:47

[angleofdarkness]

90) Tìm Min; Max của $(xy)$ biết $x;y$ là nghiệm của pt: $x^4+y^4-3=xy(1-2xy)$

 

90/ Ta có $xy(1-2xy)=x^4+y^4-3 \geq 2x^2y^2-3 \Leftrightarrow xy-2x^2y^2 \geq 2x^2y^2-3$

 

$\Rightarrow 4x^2y^2-4xy+3xy-3 \leq 0 \Rightarrow (xy-1)(4xy+3) \leq 0$

 

$\Rightarrow \frac{-3}{4} \leq xy \leq 1$

 

Dấu = khi $x^2=y^2$ và $xy(1-2xy)=x^4+y^4-3$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 24-02-2014 - 12:13

[Viet Hoang 99]

85) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\geq 1$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

86) Cho $a;b;c\geq 0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $ab+bc+ca\geq 8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

 

87) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\leq 1$. Cmr: $\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

 

88) Tìm Min $A=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{x^4+2x^2+5}+(x-1)^2$

 

89) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa: $a+b+c+d=1$. Tìm Min $A=\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

 

90) Tìm Min; Max của $(xy)$ biết $x;y$ là nghiệm của pt: $x^4+y^4-3=xy(1-2xy)$

 

 

áp dụng bđt buniacôpski ta có

$\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{3}}\geqslant \frac{\sum a^{4}}{\sqrt{\sum a^{4}.\sum a^{2}}}= \sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{4}+\frac{1}{256}\geqslant \frac{a^{2}}{8}$

cmtt ta có

$\sum a^{4}+\frac{1}{64}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}-\frac{1}{64}(2)$

ta lại có

$\sum (a^{2}+\frac{1}{16})\geqslant \frac{1}{2}\sum a\Rightarrow \sum a^{2}\geqslant \frac{1}{4}(3)$

 

từ (1)(2)(3) ta có

$\sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{8\sum a^{2}}-\frac{1}{64\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{1}{8}-\frac{1}{16}}= \frac{1}{4}$

 

vậy MinA=$\frac{1}{4}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$

Từ (1) có thể áp dụng BCS tiếp:
$\sqrt{\frac{\sum a^4}{\sum a^2}}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{(1^2+1^2+1^2+1^2)\sum a^4}}{\sqrt{\sum a^2}}\geq \frac{1}{2}.\frac{\sum a^2}{\sqrt{\sum a^2}}=\frac{\sqrt{\sum a^2}}{2}=\frac{1}{4}.\sqrt{(1^2+1^2+1^2+1^2)\sum a^2}\geq \frac{1}{4}\sum a=\frac{1}{4}$

 

90/ Ta có $xy(1-2xy)=x^4+y^4-3 \geq 2x^2y^2-3 \Leftrightarrow xy-2x^2y^2 \geq 2x^2y^2-3$

 

$\Rightarrow 4x^2y^2-4xy+3xy-3 \leq 0 \Rightarrow (xy-1)(4xy+3) \leq 0$

 

$\Rightarrow \frac{-3}{4} \leq xy \leq 1$

 

Dấu = khi $x^2=y^2$ và $xy(1-2xy)=x^4+y^4-3$ 

90)
Min $xy=-\frac{3}{4}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=\frac{\sqrt{3}}{2};y=-\frac{\sqrt{3}}{2} & & \\x=-\frac{\sqrt{3}}{2} ;y=\frac{\sqrt{3}}{2} & & \end{bmatrix}$

Max $xy=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=y=1 & & \\ x=y=-1 & & \end{bmatrix}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 24-02-2014 - 18:36

[Viet Hoang 99]

86) Cho $a;b;c\geq 0$ thỏa: $a+b+c=1$. Cmr: $ab+bc+ca\geq 8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

 

88) Tìm Min $A=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{x^4+2x^2+5}+(x-1)^2$

 

86) 

$ab+bc+ca\geq 8\sum a^2.\sum a^2b^2=8\sum a^2.[(\sum ab)^2-\sum 2ab^2c]\geq 8\sum a^2.(\sum ab)^2$

(Do $\sum 2ab^2c\geq 0$)

$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 4\sum a^2.2\sum ab.\sum ab$ (*)

Mà $4\sum a^2.2\sum ab.\sum ab\leq (\sum a)^4.\sum ab=\sum ab$

Vậy (*) LĐ
Dấu = có khi chẳng hạn: $a=0; b=c=\frac{1}{2}$

 

88)

Ta sẽ CM:
$(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{x^4+2x^2+5}\geq 0$ (1)

 + Nếu $x<0$ thì (1) LĐ
 + Nếu $x\geq 0$ thì 2 vế (1) không âm.

Bình phương ta được:
$(x^2+1)^3\geq x^2(x^4+2x^2+5)\Leftrightarrow x^4-2x^2+1\geq 0 \Leftrightarrow (x^2-1)^2\geq 0$ (LĐ)

Vậy $A\geq 0$
Dấu = có khi: $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 24-02-2014 - 19:07

[Viet Hoang 99]

91) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz\geq x+y+z+2$. Tìm Min $(x+y+z)$

 

92) Cho $x;y;z$ thỏa: $x^2+2y^2+2x^2z^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2=9$. Tìm Min; Max $A=xyz$

 

93) Cho $x;y;z$ thỏa: $\sum x^4-3=2y^2(1-x^2)$. Tìm Min; Max $A=x^2+y^2$

 

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

95) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $(a+b)(a+c)=1$

Cmr:
a) $abc(a+b+c)\leq \frac{1}{4}$

b) $a(ab+bc+ca)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 13:03

[lahantaithe99]

91) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz\geq x+y+z+2$. Tìm Min $(x+y+z)$

94) Cho $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ac\leq3abc$. Cmr $\sum\frac{a^4b}{2a+b}\geq1$

91

Có $\frac{(x+y+z)^3}{27}\geq xyz=x+y+z+2$

$\frac{(x+y+z)^3}{27}-(x+y+z+2)\geq 0$

Đặt $x+y+z=t\Rightarrow t^3-27t-54\geq 0\Rightarrow t\geq 6$

94

Ta có áp dụng Bunhiacopxki

$\sum \frac{a^4b}{2a+b}=\sum \frac{a^4b^2}{2ab+b^2}$

$\geq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{(a+b+c)^2}$

Lại có $(a^2b+b^2c+c^2a)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^2$ (theo Bunhia)

$\Rightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)(\frac{ab+bc+ac}{abc})\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ (do $ab+bc+ac\leq3abc$)

$\Rightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)^2\geq \frac{(a+b+c)^4}{9}$

Do đó $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^4}{9(a+b+c)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{9}$ $(1)$

Từ giả thiết $ab+bc+ac\leq 3abc\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq 3$ $(2)$

$(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 24-02-2014 - 19:22

[Viet Hoang 99]

91

Có $\frac{(x+y+z)^3}{27}\geq xyz$ $=x+y+z+2$

$\frac{(x+y+z)^3}{27}-(x+y+z+2)\geq 0$

Đặt $x+y+z=t\Rightarrow t^3-27t-54\geq 0\Rightarrow t\geq 6$

$\geq x+y+z+2$ nha bạn, fix đi.

[hoctrocuanewton]

 

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}bc}{2ac+bc}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt{a^{6}b^{6}c^{6}}})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{9(abc)^{2}}{9abc}= abc(2)$

theo  điều kiện bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geqslant 1(3)$

từ (1)(2)(3) suy ra

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}\geqslant abc\geqslant 1$

vậy ta được đpcm