Chủ đề này có 742 trả lời

[hoanglong2k]

Theo mình thì phải là C/m nó $\leq 3\sqrt{17}$ mới đúng

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$P^2\leq 3\begin{bmatrix} 3(a+b+c)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3 \end{bmatrix}\leq 3\begin{bmatrix} 39+2\sqrt{3(a+b+c)} \end{bmatrix}=153$

$\Rightarrow P\leq 3\sqrt{17}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=4$

ừ, Mình ghi nhầm phải là $\leqslant$

[Chung Anh]

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

[Mikhail Leptchinski]

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

Đặt $a=x^3,b=y^3,c=z^3,abc=1=>xyz=1$

Áp dụng bất đẳng thức $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ bạn tự chứng minh nhé biến đổi tương đương

=>$\frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự ta có:$\frac{1}{y^3+z^3+1}\leq \frac{x}{x+y+z},\frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{y}{x+y+z}$

Từ đó có:$VT\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1=>Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=1$

 

Bài toán mở rộng của bài toán thi USA MO

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

[dogsteven]

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

 

Đặt $(a;b;c)=(x^2;y^2;z^2)$ với $x,y,z >0$, khi đó $xyz=1$

 

Tương đương với: $\sum \dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1} \geqslant 2$

 

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2+1}+\sum \dfrac{(x-y)^2}{x^2+y^2+1} \geqslant 4$

 

Theo BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2+1} \geqslant \dfrac{4(x+y+z)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+3}$

$\sum \dfrac{(x-y)^2}{x^2+y^2+1} \geqslant \dfrac{4(x-z)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+3}$

Theo BDT Cauchy: $xy+yz+zx \geqslant 3$

 

Ta cần chứng minh: $(x+y+z)^2+(x-z)^2 \geqslant 2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+zx$

 

$\Leftrightarrow xy+yz-y^2-zx \geqslant 0 \Leftrightarrow (x-y)(y-z) \geqslant 0$

 

Tương tự ta cũng có $(y-z)(z-x) \geqslant 0$ và $(z-x)(x-y) \geqslant 0$

 

Chỉ cần 1 BDT trong 3 BDT trên đúng là bài toán được chứng minh.

 

Điều này hiển nhiên vì $[(x-y)(y-z)(z-x)]^2 \geqslant 0$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

 

Có vẻ hơi dài

[Lam Ba Thinh]

Cho a,b,c dương. CMR:

$(\frac{4a}{c+b}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$

[Mikhail Leptchinski]

Cho a,b,c dương. CMR:

$(\frac{4a}{c+b}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$

Ta có:BĐT pcm<=>$(4a+b+c)(4b+a+c)(4c+a+b)> 25(a+b)(b+c)(c+a)$

<=>$a^3+b^3+c^3+7abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT trên đúng vì $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ là bđt schur

$a,b,c>0$=>$4abc>0$ => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 27-09-2014 - 10:29

[dogsteven]

Ta có:BĐT pcm<=>$(4a+b+c)(4b+a+c)(4c+a+b)> 25(a+b)(b+c)(c+a)$

<=>$a^3+b^3+c^3+7abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT trên đúng vì $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ là bđt schur

$a,b,c>0$=>$7abc>0$ => đpcm

 

Sai rồi, BDT Schur bậc 3 là $a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Chứng minh:

 

$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$

 

Giả sử $a=\text{min{a;b;c}}$, đặt $2t=b+c$

 

Khi đó $f(a;b;c)-f(a;t;t)=\left[b+c-\dfrac{5}{4}a \right](b-c)^2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t)=a^3+at^2-2a^2t=a(a^2-2at+t^2)=a(a-t)^2 \geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-09-2014 - 09:25

[Mikhail Leptchinski]

Sai rồi, BDT Schur bậc 3 là $a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Chứng minh:

 

$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$

 

Giả sử $a=\text{min{a;b;c}}$, đặt $2t=b+c$

 

Khi đó $f(a;b;c)-f(a;t;t)=\left[b+c-\dfrac{5}{4}a \right](b-c)^2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t)=a^3+at^2-2a^2t=a(a^2-2at+t^2)=a(a-t)^2 \geqslant 0$

Tớ chỉ tính toán sai thôi mà!Mà đề bài cho $a,b,c>0$ có dấu bằng à bạn.Nếu có chỉ giáo xem

[dogsteven]

Tớ chỉ tính toán sai thôi mà!Mà đề bài cho $a,b,c>0$ có dấu bằng à bạn.Nếu có chỉ giáo xem

 

 

Thì ai nói có dấu bằng đâu.

[huybyeutoan1]

tôi còn bài này nữa nè mọi người

cho a,b,c >0 và a+b+c=3

cmr a/(ab+b^3) + b/(bc+c^3) + c/(ca+a^3)>= 3/2

p/s mọi nguoi ơi , làm thế nao để gõ dấu phân số vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huybyeutoan1: 02-10-2014 - 16:34

[brianorosco]

 

tôi còn bài này nữa nè mọi người

cho a,b,c >0 và a+b+c=3

cmr a/(ab+b^3) + b/(bc+c^3) + c/(ca+a^3)>= 3/2

p/s mọi nguoi ơi , làm thế nao để gõ dấu phân số vậy

 

$\frac{a}{ab+b^3}=\frac{1}{b}(\frac{a}{a+b^2})=\frac{1}{b}(1-\frac{b^2}{a+b^2})\geq \frac{1}{b}-\frac{b}{2b\sqrt{a}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Cộng hai bất đẳng thức tương tự, ta được:

VP $\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$-(\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{2\sqrt{c}})$$= \frac{1}{4}\left [ (\frac{1}{\sqrt{a}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{b}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{c}}-1)^2\right ]+\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1)$ $\geq \frac{3}{4}\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}= \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi brianorosco: 02-10-2014 - 22:50

[dungn0inua]

Help

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2011xz - xy - yz$

Trong đó, x, y, z là các số thỏa mãn \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \le 2\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungn0inua: 02-10-2014 - 21:28

[huybyeutoan1]

$\frac{a}{ab+b^3}=\frac{1}{b}(\frac{a}{a+b^2})=\frac{1}{b}(1-\frac{b^2}{a+b^2})\geq \frac{1}{b}-\frac{b}{2b\sqrt{a}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Cộng hai bất đẳng thức tương tự, ta được:

VP $\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$-(\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{2\sqrt{c}})$$= \frac{1}{4}\left [ (\frac{1}{\sqrt{a}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{b}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{c}}-1)^2\right ]-\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\geq \frac{3}{4}\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}= \frac{3}{2}$

cam on ban rat rat nhieu . minh ko danh gia duoc doan nay := \frac{1}{4}\left [ (\frac{1}{\sqrt{a}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{b}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{c}}-1)^2\right ]-\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\geq \frac{3}{4}\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}= \frac{3}{2}$

p/s ; ket ban nhe

[huybyeutoan1]

$\frac{a}{ab+b^3}=\frac{1}{b}(\frac{a}{a+b^2})=\frac{1}{b}(1-\frac{b^2}{a+b^2})\geq \frac{1}{b}-\frac{b}{2b\sqrt{a}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Cộng hai bất đẳng thức tương tự, ta được:

VP $\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$-(\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{2\sqrt{c}})$$= \frac{1}{4}\left [ (\frac{1}{\sqrt{a}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{b}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{c}}-1)^2\right ]-\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1)$ $\geq \frac{3}{4}\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}= \frac{3}{2}$

ban kiem tra lai di , dau + thi viet la- 

vay ma ra ket qua dung

p/s du sao cung cam on ban nhieu

[Lam Ba Thinh]

Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR:

$1) (\sum ab)(\sum \frac{1}{(a+b)^{2}})\geq \frac{9}{4}$

$2) \sum \frac{ab-bc+ca}{b^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$3)(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab+bc+ca)$

$4)\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+c^{2}}\geq 2+\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

$5)(a+b+c)(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2})\geq 4+\frac{4a^{2}b^{2}c^{2}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

$6)\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}$

[conankid98]

cm dùm cho x+y+z=1 và x, y, z >0 cmr $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

[brianorosco]

$(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x})(x+y+z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x})+(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(\frac{x^{3}}{y}+xy+\frac{y^{3}}{z}+yz+\frac{z^{3}}{x}+zx+\frac{z^{3}}{x})+(\frac{x^{2}z}{y}+zy+\frac{y^{2}x}{z}+xz+\frac{z^{2}y}{x}+xy)-2(xy+yz+zx)\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

[huybyeutoan1]

bai nay nua ne    

cho x,y,z >0 x*y*z=1 tim min$P=\frac{x^{2}\ast \left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^{2}\ast (z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^{2}\ast (x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huybyeutoan1: 09-10-2014 - 21:27

[CandyPanda]

bai nay nua ne    

cho x,y,z >0 x*y*z=1 tim min$P=\frac{x^{2}\ast \left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^{2}\ast (z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^{2}\ast (x+y)}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}$

Bài này không đối xứng à ?

[huybyeutoan1]

Bài này không đối xứng à ?

ko doi xung dau ban