Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:
$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:
$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:
$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
Nếu $\frac{b+c}{2}\leq a\Rightarrow$ ĐPCM
$\frac{b+c}{2}\geq a$ Đặt $b+c=2a+2x$
$VT=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)
$=(3a+2x)((b-a)^{2}+(c-a)^{2}+a(b+c)-a^{2}-bc)\geq 2x.(\frac{(b+c-2a)^{2}}{2}+a(2a+2x)-a^{2}-\frac{(b+c)^{2}}{4})=2x.(2x^{2}+a^{2}+2ax-(a+x)^{2})=2x^{3}=VP$
dấu = khi a=b=c=0 hoặc a=b=c
Chuyên Vĩnh Phúc
Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a3+b3>=ab(a+b) là làm ra ngay
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hoặc a=0
- Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương
Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a3+b3>=ab(a+b) là làm ra ngay
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hoặc a=0
cậu làm hẳn ra đi không dễ như cậu nói đâu cậu nói thế thì???
Chuyên Vĩnh Phúc
- Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương
Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a3+b3>=ab(a+b) là làm ra ngay
Nói có sách....Mách có Latex...Trình bày đi bạn
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Khai triển rồi biến đổi tương đương, rút gọn ta được
$12a^3+3b^3+3c^3\geq 3bc(b+c)-6ab^2-6ac^2+12a^2b+12a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3\geq bc(b+c)-2ab^2-2ac^2+4a^2b+4a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3-bc(b+c)+2ab^2+2ac^2-2a^2b-4a^2c\geq 0 \Leftrightarrow 4a^3+2ab^2+2ac^2-4ab^2-4ac^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0 \Leftrightarrow 2a(a-c)^2+2a(a-b)^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0$
Điều này luôn đúng với a,b,c>0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-12-2013 - 20:25
Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:
$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
Lời giải:
Nếu $b+c \leq 2a$ thì $a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0$, $2(\frac{b+c}{2}-a)^3 \leq 0$
$\Rightarrow$ ĐPCM
Nếu b+c > 2a thì b>a,c>a hoặc b>a,c<a (vai trò b,c như nhau)
Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Đặt $S=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
*Với b>a, c>a thì:$2S=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq \frac{(b+c-2a)^2}{2}$ $\Leftrightarrow$ $S \geq (\frac{b+c}{2}-a)^2$(1)
Lại có: $a+b+c \geq b+c-2a=2(\frac{b+c}{2}-a)$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
ĐPCM dấu "=" xảy ra khi b=c, a=0
*Với b>a,c<a thì $2S \geq \frac{3}{2}.(b-c)^2$ $\Leftrightarrow$ $S $>$\frac{3}{4}.(b+c-2a)^2=3.(\frac{b+c}{2}-a)^2$
Lại có: $a+b+c \geq b+c-2a=2(\frac{b+c}{2}-a)$
Suy ra: $a^3+b^3+c^3-3abc$>$ 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$
Vậy ta có ĐPCM dấu '=' xảy ra khi a=b=c hoặc b=c, a=0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 20-12-2013 - 21:23
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh