Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:

$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$

[buiminhhieu]

Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:

$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$

Nếu $\frac{b+c}{2}\leq a\Rightarrow$ ĐPCM

$\frac{b+c}{2}\geq a$ Đặt $b+c=2a+2x$

$VT=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)

$=(3a+2x)((b-a)^{2}+(c-a)^{2}+a(b+c)-a^{2}-bc)\geq 2x.(\frac{(b+c-2a)^{2}}{2}+a(2a+2x)-a^{2}-\frac{(b+c)^{2}}{4})=2x.(2x^{2}+a^{2}+2ax-(a+x)^{2})=2x^{3}=VP$

dấu = khi a=b=c=0 hoặc a=b=c

[lahantaithe99]

• Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương

Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a³+b³>=ab(a+b) là làm ra ngay

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hoặc a=0

[buiminhhieu]

 

• Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương

Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a³+b³>=ab(a+b) là làm ra ngay

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hoặc a=0

 

cậu làm hẳn ra đi không dễ như cậu nói đâu cậu nói thế thì???  

[hoangmanhquan]

 

• Bài này tách hết ra rồi biến đổi tương đương

Áp dụng thêm bất đẳng thức phụ a³+b³>=ab(a+b) là làm ra ngay

 

 

Nói có sách....Mách có Latex...Trình bày đi bạn

[lahantaithe99]

Khai triển rồi biến đổi tương đương, rút gọn ta được

$12a^3+3b^3+3c^3\geq 3bc(b+c)-6ab^2-6ac^2+12a^2b+12a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3\geq bc(b+c)-2ab^2-2ac^2+4a^2b+4a^2c \Leftrightarrow 4a^3+b^3+c^3-bc(b+c)+2ab^2+2ac^2-2a^2b-4a^2c\geq 0 \Leftrightarrow 4a^3+2ab^2+2ac^2-4ab^2-4ac^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0 \Leftrightarrow 2a(a-c)^2+2a(a-b)^2+(b^3+c^3-bc(b+c))\geq 0$

Điều này luôn đúng với a,b,c>0

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-12-2013 - 20:25

[trandaiduongbg]

Cho các số thực không âm a, b, c. CMR:

$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$

Lời giải:

Nếu $b+c \leq 2a$ thì $a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0$,  $2(\frac{b+c}{2}-a)^3 \leq 0$ 

$\Rightarrow$ ĐPCM

Nếu b+c > 2a thì b>a,c>a hoặc b>a,c<a (vai trò b,c như nhau)

Ta có:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Đặt $S=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

  *Với  b>a, c>a thì:$2S=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq \frac{(b+c-2a)^2}{2}$ $\Leftrightarrow$  $S \geq (\frac{b+c}{2}-a)^2$(1)

Lại có: $a+b+c \geq b+c-2a=2(\frac{b+c}{2}-a)$(2) 

Từ (1) và (2) suy ra $a^3+b^3+c^3-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$ 

ĐPCM dấu "=" xảy ra khi b=c, a=0

*Với b>a,c<a thì $2S \geq \frac{3}{2}.(b-c)^2$ $\Leftrightarrow$ $S $>$\frac{3}{4}.(b+c-2a)^2=3.(\frac{b+c}{2}-a)^2$

Lại có: $a+b+c \geq b+c-2a=2(\frac{b+c}{2}-a)$

Suy ra: $a^3+b^3+c^3-3abc$>$ 2(\frac{b+c}{2}-a)^3$ 

Vậy ta có ĐPCM dấu '=' xảy ra khi a=b=c hoặc b=c, a=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 20-12-2013 - 21:23