Chủ đề này có 3 trả lời

[kfcchicken98]

cho a,b,c dương, ab+bc+ca=3, CM

$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geq 12$ (Korea MO 2013)

[25 minutes]

cho a,b,c dương, ab+bc+ca=3, CM

$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geq 12$ (Korea MO 2013)

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$

           $\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$

Áp dụng Bất đẳng thức Holder dạng $\frac{x^3}{a}+\frac{y^3}{b}+\frac{z^3}{c}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{3(a+b+c)}$

     $\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant \frac{8(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+6(a+b+c)+18}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-6$

Do đó chỉ cần chứng minh $\frac{8t^3}{6(t^2-6)+6t+18}\geqslant 4\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3)\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[kfcchicken98]

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$

           $\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$

Áp dụng Bất đẳng thức Holder dạng $\frac{x^3}{a}+\frac{y^3}{b}+\frac{z^3}{c}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{3(a+b+c)}$

     $\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant \frac{8(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+6(a+b+c)+18}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-6$

Do đó chỉ cần chứng minh $\frac{8t^3}{6(t^2-6)+6t+18}\geqslant 4\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3)\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

$8(a+b+c)^{3}$ bạn ơi

[Kaito Kuroba]

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$

           $\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

          $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$

Áp dụng Bất đẳng thức Holder dạng $\frac{x^3}{a}+\frac{y^3}{b}+\frac{z^3}{c}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{3(a+b+c)}$

     $\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant \frac{8(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+6(a+b+c)+18}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-6$

Do đó chỉ cần chứng minh $\frac{8t^3}{6(t^2-6)+6t+18}\geqslant 4\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3)\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq t^{2}-6
\Rightarrow \frac{8\left ( a+b+c \right )^{3}}{6\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+6\left ( a+b+c \right )+18}$

$\leq \frac{8t^{3}}{6\left ( t^{2} +6\right )+6t+18}$