Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Với a, b là các số thực dương. Tìm MIN:

$A=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}+\sqrt{\frac{4b^3}{b^3+(a+b)^3}}$

[Hoang Tung 126]

Ta có :$A=\frac{1}{\sqrt{1+8(\frac{b}{a})^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\frac{a}{b})^3}}$

Đặt $\frac{b}{a}=x= > \frac{a}{b}=\frac{1}{x}$

Ta có :$A=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\frac{1}{x})^3}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}+\frac{2}{\sqrt{(\frac{1}{a}+2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}+1)}}\geq \frac{1}{\frac{2a+1+4a^2-2a+1}{2}}+\frac{2}{\frac{\frac{1}{a}+2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}+1}{2}}=\frac{2}{4a^2+2}+\frac{4}{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a}+3}=\frac{1}{2a^2+1}+\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}$

Ta sẽ CM $A\geq 1< = > \frac{1}{2a^2+1}+\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\geq 1< = > \frac{8a^4+7a^2+2a+1}{(2a^2+1)(3a^2+2a+1)}\geq 0< = > 8a^4+7a^2+2a+1\geq 6a^4+4a^3+5a^2+2a+1< = > 2a^4-4a^3+2a^2\geq 0< = > 2a^2(a-1)^2\geq 0$(Luôn đúng)

 Vậy $A$ Min = 1 khi a=1 hay x=y

[KietLW9]

Ta có: $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}-\frac{a^2}{a^2+2b^2}=\frac{\frac{4a^3b^2(a-b)^2}{(a^3+8b^3)(a^2+2b^2)^2}}{\sqrt{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}+\frac{a^2}{a^2+2b^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}\geqslant \frac{a^2}{a^2+2b^2}$ (1)

          $\sqrt{\frac{4b^3}{b^3+(a+b)^3}}-\frac{2b^2}{a^2+2b^2}=\frac{\frac{4b^3(a-b)^2(a^2+ab+2b^2)}{[b^3+(a+b)^3](a^2+2b^2)^2}}{\sqrt{\frac{4b^3}{b^3+(a+b)^3}}+\frac{2b^2}{a^2+2b^2}}\geqslant 0$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}+\sqrt{\frac{4b^3}{b^3+(a+b)^3}}\geqslant \frac{a^2+2b^2}{a^2+2b^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b>0$