Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Cho $f$ là hàm số xác định và lấy giá trị trên số thực. Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ sao cho $f(x-f(y))>yf(x)+x$ .

[Idie9xx]

Cho $f$ là hàm số xác định và lấy giá trị trên số thực. Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ sao cho $f(x-f(y))>yf(x)+x,(*)$ .

Bài này cũng khá hay

Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$$f(x-f(y))\leq y f(x)+x$$

Bài giải:

Với $P(x,y)$ có tính chất $f(x-f(y))\leq y f(x)+x$

$P(x+f(0),0)\Rightarrow f(x)\leq x+f(0)$

$x<0\Rightarrow f(x)<f(0),(*)$

$P(f(x),x)\Rightarrow f(0)\leq x f(f(x))+f(x)\leq xf(x)+xf(0)+f(x)\leq x^2+2xf(0)+x+f(0)$

$\Rightarrow 0\leq x(x+1+2f(0)))$

$x\rightarrow 0^+ \Rightarrow 1+2f(0)\geq 0,(1)$

$x\rightarrow 0^- \Rightarrow 1+2f(0)\leq 0,(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow f(0)=-\dfrac{1}{2}$

$P(f(x),x)\Rightarrow f(0)\leq x f(f(x))+f(x)\leq xf(f(x))+x+f(0)$

$\Rightarrow 0\leq x(f(f(x))+1)$

$x>0\Rightarrow -1\leq f(f(x))\leq f(x)-\dfrac{1}{2}\Rightarrow f(x)\geq -\dfrac{1}{2},(**)$

Từ $(*),(**)\Rightarrow x<0\Leftrightarrow f(x)\leq -\dfrac{1}{2}$

$P(1,-\dfrac{3}{2f(1)})\Rightarrow f(1-f(-\dfrac{3}{2f(1)}))\leq -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 1\leq f(-\dfrac{3}{2f(1)})\leq -\dfrac{3}{2f(1)}-\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow -1\leq f(1)\leq 0,(3)$

$P(f(1),1)\Rightarrow f(0)\leq f(f(1))+f(1)\leq 2f(1)+f(0)$

$\Rightarrow 0\leq f(1),(4)$

Từ $(3),(4)\Rightarrow f(1)=0$

$P(x,1)\Rightarrow f(x)\leq f(x)+x\Rightarrow x\geq 0$ mâu thuẫn.

$\Rightarrow DPCM$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 29-12-2013 - 20:32