Chủ đề này có 3 trả lời

[Kaitou Kid 1412]

Cho x,y,u,v>0.CMR:

$\frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

 

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v}=\frac{(x+u)(y+v)}{x+y+u+v}\geq \frac{xy(u+v)+uv(x+y)}{(x+y)(v+u)}< = > (x+y)(x+u)(y+v)(v+u)\geq (x+y+u+v)(xyu+xyv+xuv+uvy)$

Đến đây biến đổi ta được biểu thức đúng

[Kaitou Kid 1412]

Ý bạn là khai triển tung ra à ?? Liệu có cách cm nào khác không?

[Nguyenhuyen_AG]

Cho x,y,u,v>0.CMR:

$\frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{(y+v)(x+u)}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v},\]

\[\left (x+y-\frac{4xy}{x+y}  \right )+\left (u+v-\frac{4uv}{u+v}  \right ) \geq x+y+u+v -\frac{4(y+v)(x+u)}{x+y+u+v},\]

\[\frac{(x-y)^2}{x+y}+\frac{(u-v)^2}{u+v}\geq \frac{(x+u-y-v)^2}{x+y+u+v}.\]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 29-12-2013 - 00:33