Với 2 số nguyên dương $m;n$. Chứng minh rằng : $$(2^{m}-1;2^{n}-1)=2^{(m;n)}-1$$
Kí hiệu $(x;y)$ có nghĩa là $UCLN$ của $x;y$
Chứng minh rằng : $(2^{m}-1;2^{n}-1)=2^{(m;n)}-1$
Bắt đầu bởi letankhang, 28-12-2013 - 16:50
#1
Đã gửi 28-12-2013 - 16:50
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
- buiminhhieu yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#2
Đã gửi 28-12-2013 - 18:14
buiminhhieu
-
- Thành viên
-
- 1150 Bài viết
Thượng úy
Với 2 số nguyên dương $m;n$. Chứng minh rằng : $$(2^{m}-1;2^{n}-1)=2^{(m;n)}-1$$
Kí hiệu $(x;y)$ có nghĩa là $UCLN$ của $x;y$
gọi d=(m,n)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d & \\ n\vdots d& \end{matrix}\right.$
đặt $m=dk,n=dp((k,p)=1)\Rightarrow 2^{m}-1=2^{dk}-1\vdots 2^{d}-1$
tương tự $2^{m}-1=2^{dp}-1\vdots 2^{d}-1$
Ta có $2^{m}-1=2^{dk}-1=(2^{d}-1)(2^{d(k-1)}+...+2+1)$
$2^{n}-1=2^{dp}-1=(2^{d}-1)(2^{d(p-1)}+...+2+1)$
Đặt $x=((2^{d.(k-1)}+...+1);(2^{d.(k-1)}+...+1))$
$(2^{d.(k-1)}+...+1)\vdots x;$$(2^{d.(p-1)}+...+1)\vdots x;$
GS p>k $\Rightarrow 2^{d(p-1)}+...+2^{d(p-k)}\vdots x\Rightarrow 2^{d(k-p)}\vdots x\Rightarrow$$2/x\Rightarrow$
hoác x chẵn (lọaị vì khi đó 1 chia hết x vô lí ) nên x=1
Ta có ĐPCM
Chuyên Vĩnh Phúc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
