Chủ đề này có 4 trả lời

[Rias Gremory]

Một số bài tập về dạng tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất, hai nghiệm phân biệt 

Tìm $m$ để hệ 

a, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=m \\ x+y+xy=m \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm

b, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) \\ (x+y)^{2}=4 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt

c, $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m \\ \sqrt{1-y}+\sqrt{x}=m \end{matrix}\right.$ có nghiệm duy nhất 

 

[duaconcuachua98]

 

b, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) \\ (x+y)^{2}=4 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) & \\ (x+y)^{2}=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=4 & \\ xy=1-m& \end{matrix}\right.$

Hệ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (x+y)^{2}> 4xy\Leftrightarrow 4> 4-4m\Leftrightarrow m> 0$

[Kaito Kuroba]

Một số bài tập về dạng tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất, hai nghiệm phân biệt 

Tìm $m$ để hệ 

a, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=m \\ x+y+xy=m \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm

b, $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) \\ (x+y)^{2}=4 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt

c, $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m \\ \sqrt{1-y}+\sqrt{x}=m \end{matrix}\right.$ có nghiệm duy nhất 

a.

từ phương trình đâu suy ra: $\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$$\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$ (1)

từ phuơng trinh2 suy ra :$x+y=m-xy$

đặt: x+y=a; xy=b

(1)  ==> $(m-b)^{2}-2b=m \Leftrightarrow b^{2}-2(m-1).b+m^{2}-m=0 \Rightarrow \Delta'=3m+1$

từ đây suy ra phuơng trình có nghiệm khi|:$m\geq \frac{-1}{3}$

 

 

b.bạn

duaconcuachua98

đã làm.

 

 

 

c.

từ phương trình đâu và 2 ta suy ra:

$\left ( y-x \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} +\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right )=0 \Rightarrow x=y$ vì với ĐK x;y\leq 1

thì: $\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \geq 0$

từ x=y thế vào phương trình đâu ta được rồi thu gon bình phương ta được:

$x^{2}-4y+m^{2}-2m+1=0 \Rightarrow \Delta' = (1-m)(3+m)$

 vậy để phương trình có nghiệm duy nhất <=> m=1 và m=-3

 

 

trên đây la bài làm của mình chắc chắn sẽ có sai sót trong việc soạn ra, mong các bạn thông cảm và gửi ý kiến cho mình nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 01-01-2014 - 18:00

[Kaito Kuroba]

Ta có $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) & \\ (x+y)^{2}=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=4 & \\ xy=1-m& \end{matrix}\right.$

Hệ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (x+y)^{2}> 4xy\Leftrightarrow 4> 4-4m\Leftrightarrow m> 0$

 

bạn có thể làm cách khác như; từ :$\left ( x+y \right )^{2}=4\Rightarrow x+y=\pm 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 01-01-2014 - 18:02

[Rias Gremory]

Ta có $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2(m+1) & \\ (x+y)^{2}=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=4 & \\ xy=1-m& \end{matrix}\right.$

Hệ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (x+y)^{2}> 4xy\Leftrightarrow 4> 4-4m\Leftrightarrow m> 0$

 

a.

từ phương trình đâu suy ra: $\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$$\left ( x+y \right )^{2}-2xy=m$ (1)

từ phuơng trinh2 suy ra :$x+y=m-xy$

đặt: x+y=a; xy=b

(1)  ==> $(m-b)^{2}-2b=m \Leftrightarrow b^{2}-2(m-1).b+m^{2}-m=0 \Rightarrow \Delta'=3m+1$

từ đây suy ra phuơng trình có nghiệm khi|:$m\geq \frac{-1}{3}$

 

 

b.bạn

duaconcuachua98

đã làm.

 

 

 

c.

từ phương trình đâu và 2 ta suy ra:

$\left ( y-x \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} +\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right )=0 \Rightarrow x=y$ vì với ĐK x;y\leq 1

thì: $\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \geq 0$

từ x=y thế vào phương trình đâu ta được rồi thu gon bình phương ta được:

$x^{2}-4y+m^{2}-2m+1=0 \Rightarrow \Delta' = (1-m)(3+m)$

 vậy để phương trình có nghiệm duy nhất <=> m=1 và m=-3

 

 

trên đây la bài làm của mình chắc chắn sẽ có sai sót trong việc soạn ra, mong các bạn thông cảm và gửi ý kiến cho mình nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Hai bạn làm theo cách này vừa dài, vừa không đúng.

Hai bạn làm không đúng một bài nào hết.

Cách làm :

Nhìn đề bài, các bạn chú ý rằng ở đây là hệ đối xứng. Nên cách làm thế này 

VD mình làm câu c trước là phương trình có nghiệm duy nhất

ĐK : $0\leq x,y\leq 1$

Điều kiện cần :

Nếu $x,y$ là nghiệm của phương trình thì $1-x;1-y$ cũng là nghiệm

Hệ có nghiệm duy nhất thì $\left\{\begin{matrix} x=1-x \\ y=1-y \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow m=\sqrt{2}$

Điều kiện đủ :

Thay $m=\sqrt{2}$ vào phương trình , giải ra ta được nghiệm duy nhất $x=y=\frac{1}{2}$

VD: dạng bài câu b cũng giống như câu c

Nhận xét : Nếu $(x;y)$ là nghiệm của PT thì $(y;x);(-x;-y);(-y;-x)$ cũng là nghiệm

Để phương trình có đúng hai nghiệm thì ta thử ba TH vào là OK

P/s : Cách giải của mấy bạn không giải quyết được những bài dạng hệ PT như này, chỉ có thể biện luận được một số phương trình thôi.