Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn x+y+z=1. Tìm max :

$A=\sum \frac{xy}{xy+z}-\frac{1}{4xyz}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 29-12-2013 - 20:00

[buiminhhieu]

Cho $x, y, z \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả mãn x+y+z=1. Tìm max :

$A=\sum \frac{xy}{xy+z}-\frac{1}{4xyz}$

sao $x,y,z\in \mathbb{Z+}$ này

[hoangmanhquan]

sao $x,y,z\in \mathbb{Z+}$ này

bực mình,,,sao dạo này toàn gõ sai latex nhỉ??? FIX rồi đó..ok chưa???

[Hoang Tung 126]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn x+y+z=1. Tìm max :

$A=\sum \frac{xy}{xy+z}-\frac{1}{4xyz}$

Ta có :$\sum \frac{xy}{xy+z.1}=\sum \frac{xy}{xy+z(x+y+z)}=\sum \frac{xy}{(z+x)(z+y)}=\frac{\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}$

[trandaiduongbg]

Ta có :$\sum \frac{xy}{xy+z.1}=\sum \frac{xy}{xy+z(x+y+z)}=\sum \frac{xy}{(z+x)(z+y)}=\frac{\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}$

Anh ơi xong rồi làm như thế nào nữa ạ?

Em không nghĩ ra.

[buiminhhieu]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn x+y+z=1. Tìm max :

$A=\sum \frac{xy}{xy+z}-\frac{1}{4xyz}$

 

Anh ơi xong rồi làm như thế nào nữa ạ?

Em không nghĩ ra.

 

Ta có :$\sum \frac{xy}{xy+z.1}=\sum \frac{xy}{xy+z(x+y+z)}=\sum \frac{xy}{(z+x)(z+y)}=\frac{\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}$

Để mình làm vậy

Bài làm:

Ta có

BĐT $\Leftrightarrow \sum (1-\frac{z}{xy+z})-\frac{1}{4xyz}$

$=3-(\sum \frac{z}{xy+z}+\frac{1}{4xyz})=3-(\sum \frac{z}{xy+z.(x+y+z)}+\frac{x+y+z}{4xyz})$

$=3-(\sum \frac{z}{(x+z)(y+z)}+\sum \frac{1}{4xy})$

Lại có 

$\sum \frac{z}{(x+z)(y+z)}+\sum \frac{1}{4xy}=\frac{\sum z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\sum \frac{1}{4xy}\geq \frac{2\sum xy}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{9}{4\sum xy}$

Mặt khác $(x+y)(y+z)(z+x)\leq \frac{8(x+y+z)^{3}}{27}\Rightarrow \frac{2\sum xy}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{9}{4\sum xy}\geq$

$\frac{27}{4} .\sum xy+\frac{9}{4\sum xy}=(\frac{27\sum xy}{4}+\frac{3}{4\sum xy})+\frac{6}{4.\sum xy}$

$\geq \frac{9}{2}+\frac{6}{4\sum xy}$

Mà $4\sum xy\leq \frac{4}{3}.(x+y+z)^{2}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{6}{4\sum xy}\geq \frac{9}{2}$

Nên $\sum \frac{z}{xy+z}+\frac{1}{4xyz}\geq 9$

Do đó $A\leq 3-9=-6$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[trandaiduongbg]

Ta có :$\sum \frac{xy}{xy+z.1}=\sum \frac{xy}{xy+z(x+y+z)}=\sum \frac{xy}{(z+x)(z+y)}=\frac{\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}$

Đến đây mình chứng minh tiếp thế này chẳng biết có đúng không??  

$\frac{\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}=\sum \frac{x^2}{(x+y)(z+x)} \ge \frac{x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \ge \frac{3}{4}$

Đến đây là gần xong oy!