Chủ đề này có 2 trả lời

[buitudong1998]

tìm m, n, k tự nhiên thỏa mãn: $5^{m}+7^{n}=k^{3}$

[Rias Gremory]

tìm m, n, k tự nhiên thỏa mãn: $5^{m}+7^{n}=k^{3}$

Bạn xem ở đây

[bangbang1412]

tìm m, n, k tự nhiên thỏa mãn: $5^{m}+7^{n}=k^{3}$

Ta chỉ hạn chế xét cho các số $m,n,k>0$ , xét các số dư cho $8$ của nó ta chứng minh được $m$ chẵn và $n$ lẻ ( tự xét nhé , modul này dễ thôi )

Ta có $7^{n}\equiv 0(mod7)$ 

Xét $m=3a,3a+1,3a+2$ và để ý $7.18=126=5^{3}+1$ và $m$ chẵn nên 

Nếu $m=3a$ thì $a$ chẵn , ta có $5^{m}=125^{a}\equiv (-1)^{a}=1(mod7)$ 

Nếu $m=3a+1$ thì $a$ lẻ ta có $5^{m}=5.125^{a}\equiv 2(mod7)$

Nếu $m=3a+2$ thì $a$ chẵn ta có $5^{m}=25.125^{a}\equiv 4(mod7)$

Nhận thấy vế trái chia $7$ chỉ dư $1,2,4$ mà số dư của $k^{3}$ khi chia $7$ là $0,1,6$ , do đó $m=3a$

Thay thế vào phương trình ta thu được $7^{n}=k^{3}-(5^{a})^{3}$

Nếu $k-5^{a}$ không chia hết $7$ vậy ta có ngay $k-5^{a} =1$ (điều này do vế trái là lũy thừa của $7$ là số nguyên tố)

Nếu $k-5^{a}$ chia hết $7$ áp dụng định lý $LTE$ có ngay $v_{7}(k^{3}-5^{3a})=v_{7}(3)+v_{7}(k-5^{a})$ do đó có ngay $k^{3}-5^{3a}=1$ và $k-5^{a}=7^{n}$ ( cái này tự xét nhé )

Ta quay lại trường hợp lúc nãy , ta có hệ

                                                 $7^{n}=k^{2}+k.5^{a}+5^{2a}$

                                                 $k=5^{a}+1$

Do đó thu được $7^{n}-1=3.5^{a}(5^{a}+1)$ đặt $5^{a}=x$ có $7^{n}-1=3x(x+1)$

Do $n$ lẻ ta thu được $7^{n}=7^{2b+1}=49^{b}.7=(50-1)^{b}.7$

Nếu $b$ lẻ và $a>0$ thì $7^{n}-1\equiv -7-1=-8(mod5)$

Nếu $b$ chẵn và $a>0$ thì $7^{n}-1\equiv 6(mod5)$

Vậy trong mọi trường hợp $7^{n}-1$ không chia hết cho $5$ , vì vậy vế phải cũng không chia hết $5$ do đó $a=0$ và ta có $n=1$

Phương trình có nghiệm $(m,n,k)=(0,1,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-12-2013 - 21:17