Chủ đề này có 5 trả lời

[Rias Gremory]

Một bài dễ nhá

Tìm MIN của $S=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ với $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

[mrwin99]

Một bài dễ nhá

Tìm MIN của $S=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ với $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

Bài này chơi đẹp bằng AM-GM nhé Leonardo Piscalso
Đầu tiên đoán điểm rơi

$a=b=c=\frac{1}{2}\rightarrow \begin{Bmatrix} a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{a\alpha }=\frac{1}{b\alpha }=\frac{9}{\alpha } \end{Bmatrix}\rightarrow \frac{1}{9}=\frac{9}{\alpha }\rightarrow \alpha =81$

Vậy 81 sẽ là hệ số điểm rơi

Đặt $\sum$ là S

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]$

Ta có $1\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 27$

Áp dụng ta có

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(27)^{162}}}}]$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1/3$
Check lại hộ tôi nhé, tui ngồi nhẩm nên chắc sai số rồi, 

p/s: Tui đây nhớ không? =))

[leduylinh1998]

Một bài dễ nhá

Tìm MIN của $S=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ với $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

Ta có:$\frac{\sqrt{82}}{3}S=\sum \sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{82}{9}}=\sum \sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\left ( \frac{1}{9}+9 \right )}$

$\geq \sum \frac{a}{3}+\sum \frac{3}{a}\geq \frac{a+b+c}{3}+\frac{27}{a+b+c}$

$=\frac{a+b+c}{3}+\frac{1}{3(a+b+c)}+\frac{80}{3(a+b+c)}$

$\geq 2.\frac{1}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}$ Vì $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

$\Rightarrow S\geq \frac{\frac{82}{3}}{\frac{\sqrt{82}}{3}}=\sqrt{82}$

[nghiemthanhbach]

Bài này chơi đẹp bằng AM-GM nhé Leonardo Piscalso
Đầu tiên đoán điểm rơi

$a=b=c=\frac{1}{2}\rightarrow \begin{Bmatrix} a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{a\alpha }=\frac{1}{b\alpha }=\frac{9}{\alpha } \end{Bmatrix}\rightarrow \frac{1}{9}=\frac{9}{\alpha }\rightarrow \alpha =81$

Vậy 81 sẽ là hệ số điểm rơi

Đặt $\sum$ là S

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]$

Ta có $1\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 27$

Áp dụng ta có

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sum \sqrt{82.\sqrt[82]{a^2.(\frac{1}{81a^2})^{81}}}=\sqrt{82}\sum \sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{162}}}\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(abc)^{162}}}}]\geq \sqrt{82}[3.\sqrt[3]{ \sqrt[82]{\frac{1}{81^{243}.(27)^{162}}}}]$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1/3$
Check lại hộ tôi nhé, tui ngồi nhẩm nên chắc sai số rồi, 

p/s: Tui đây nhớ không? =))

Nguyên khúc này :v teo sạch

Đề thi khối B đại học thì phải

p/s: Cái này chỉ Hiếu hiểu

[bengoyeutoanhoc]

Ta có:$\frac{\sqrt{82}}{3}S=\sum \sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\frac{82}{9}}=\sum \sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\left ( \frac{1}{9}+9 \right )}$

$\geq \sum \frac{a}{3}+\sum \frac{3}{a}\geq \frac{a+b+c}{3}+\frac{27}{a+b+c}$

$=\frac{a+b+c}{3}+\frac{1}{3(a+b+c)}+\frac{80}{3(a+b+c)}$

$\geq 2.\frac{1}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}$ Vì $a+b+c\leq 1(a,b,c> 0)$

$\Rightarrow S\geq \frac{\frac{82}{3}}{\frac{\sqrt{82}}{3}}=\sqrt{82}$

 

Hỏi...: Làm sao để biết là nhân vào $\frac{\sqrt{82}}{3}$ vậy ? 

[leduylinh1998]

Mình dự đoán dấu bằng trước rồi mới nhân thêm một lượng nữa cho thích hợp