cho $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}} \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatsp: 02-01-2014 - 15:06
cho $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}} \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatsp: 02-01-2014 - 15:06
cho $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}u_{k}} \end{matrix}\right.$
tìm $\lim \frac{{u_{n}}^{2}}{2\ln n}$
Bài này đợi lâu quá mà không thấy ai giải nên mình giải luôn
+)Ta có
$$\frac{u_{n+1}^2-u_{n}^2}{2\ln (n+1)-2\ln n}=\frac{\frac{2u_{n}}{u_{1}+...+u_{n}}+\frac{1}{(u_{1}+...+u_{n})^2}}{2\ln \frac{n+1}{n}}$$
$$=\frac{\frac{2nu_{n}}{u_{1}+...+u_{n}}+\frac{n}{(u_{1}+...+u_{n})^2}}{2\ln (1+\frac{1}{n})^n}$$
Do đó
$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}^2-u_{n}^2}{2\ln (n+1)-2\ln n}=\lim_{n \to \infty} (\frac{nu_{n}}{u_{1}+...+u_{n}}+\frac{n}{2(u_{1}+...+u_{n})^2})$$ (1)
+)Do $u_{n}$ là dãy tăng nên $u_{1}+...+u_{n}> nu_{1}=n$.
Suy ra $0< \frac{n}{2(u_{1}+...+u_{n})^2}< \frac{1}{2n}$. Từ nguyên lí kẹp ta có ngay
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2(u_{1}+...+u_{n})^2}=0$$ (2)
+)Ta lại có
$\frac{(n+1)u_{n+1}-nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-\frac{nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-n(1-\frac{1}{(u_{1}+...+u_{n})u_{n+1}})$
Do đó
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)u_{n+1}-nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-n(1-0)=1$
(dễ dàng chứng minh được $u_{1}+...+u_{n}$ tiến tới vô cùng )
Suy ra theo bổ đề Stolz, ta có ngay
$$\lim_{n \to \infty} \frac{nu_{n}}{u_{1}+...+u_{n}}=1$$ (3)
Từ (1), (2), (3) ta có
$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}^2-u_{n}^2}{2\ln (n+1)-2\ln n}=1$
Do đó theo bổ đề Stolz, ta có
$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}^2}{2 \ln n}=1$$
(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 22-01-2014 - 11:51
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
+)Ta lại có
$\frac{(n+1)u_{n+1}-nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-\frac{nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-n(1-\frac{1}{(u_{1}+...+u_{n})u_{n+1}})$
Do đó
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)u_{n+1}-nu_{n}}{u_{n+1}}=n+1-n(1-0)=1$
(dễ dàng chứng minh được $u_{1}+...+u_{n}$ tiến tới vô cùng )
Khúc này mình thấy kì kì,nếu mà $\frac{1}{(u_{1}+...+u_{n})u_{n+1}}$ tiến tới 0 còn n tiến đến vô cùng thì là vô định chứ sao tính lim rồi mà vẫn còn n+1-n(1-0) ở ngoài .Nếu co sai gì thi mình xin lỗi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatsp: 25-03-2014 - 23:35
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh