Chủ đề này có 2 trả lời

[LyTieuDu142]

Chứng minh BĐT tổng quát:

 

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{2k}$ (với k là số thực dương):

 

Chứng minh rằng:

 

 

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{\sqrt{k}}{2}$

[phuocdinh1999]

xem ở đây 

[25 minutes]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{2k}$ (với k là số thực dương):

Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{\sqrt{k}}{2}$

Trước hết ta có kết quả quen thuộc sau 

       $\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2b+a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+ac^2+ab^2+bc^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

       $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}}$

       $ab^2+bc^2+ca^2\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geqslant \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Từ giả thiết ta có $\sqrt{2k}=\sum \sqrt{a^2+b^2}\leqslant 3\sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geqslant \frac{\sqrt{k}}{2}$