Chủ đề này có 4 trả lời

[sasuke4598]

Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn: $P(x^2)=[P(x)]^2$ $\forall x\in \mathbb{R}$

[henry0905]

Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn: $P(x^2)=[P(x)]^2$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Gọi đa thức $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ với $a_{n}\neq 0, n\in \mathbb{N}$

Giả sử là có ít nhất một hệ số $a_{m}\neq 0$

Khi đó $a_{n}x^{2n}+...+a_{m}x^{2m}+...+a_{0}=a_{n}^{2}x^{2n}+...+2a_{n}a_{m}x^{n+m}+...+a_{m}^{2}x^{2m}+...+a_{0}^{2}$

Cân bằng hệ số, ta được: $a_{n}a_{m}=0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa. 

$\Rightarrow P(x)=a_{n}x^{n}$

[tienthcsln]

Gọi đa thức $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ với $a_{n}\neq 0, n\in \mathbb{N}$

Giả sử là có ít nhất một hệ số $a_{m}\neq 0$

Khi đó $a_{n}x^{2n}+...+a_{m}x^{2m}+...+a_{0}=a_{n}^{2}x^{2n}+...+2a_{n}a_{m}x^{n+m}+...+a_{m}^{2}x^{2m}+...+a_{0}^{2}$

Cân bằng hệ số, ta được: $a_{n}a_{m}=0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa. 

$\Rightarrow P(x)=a_{n}x^{n}$

Còn nếu $m+n=2i\Rightarrow 2a_n a_m=a_i  $ thì sao a?

[vanhuongsky]

Giả sử deg(P)=n và hệ số bậc cao nhất là a (a $\neq 0$ ) 

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất => a=1

Khi đó ta đặt P(x)=$x^{n}$+Q(x) thì k=deg(Q) < n.

Nếu Q(x)$\not\equiv 0$ Thì 

Thay vào đẳng thức ban đầu có : $x^{2n}+Q(x^{2})=(x^{n}+Q(x))^2$

Sau khi rút gọn ta so sánh bậc cao nhất : 2k = k+n => k=n ( Điều này vô lí )

Suy ra : Q(x)$\equiv$0. Vậy P(x)=$x^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 27-06-2014 - 19:03

[BlackZero]

Gọi đa thức $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ với $a_{n}\neq 0, n\in \mathbb{N}$

Giả sử là có ít nhất một hệ số $a_{m}\neq 0$

Khi đó $a_{n}x^{2n}+...+a_{m}x^{2m}+...+a_{0}=a_{n}^{2}x^{2n}+...+2a_{n}a_{m}x^{n+m}+...+a_{m}^{2}x^{2m}+...+a_{0}^{2}$

Cân bằng hệ số, ta được: $a_{n}a_{m}=0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa. 

$\Rightarrow P(x)=a_{n}x^{n}$

 

Còn nếu $m+n=2i\Rightarrow 2a_n a_m=a_i  $ thì sao a?

bài henry thiếu điều kiện 

 ta chọn $m$ $(m<n)$ lớn nhất sao cho $a_m\neq 0$

khi đó $2a_na_m=0$

do $a_n\neq 0$ nên $a_m=0$

rồi lặp lại ra $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_0=0$

$P(x)=x^n$