Chủ đề này có 2 trả lời

[mathandyou]

Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ và số nguyên tố $p \geq 5$ thỏa mãn:

$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$$

[Zaraki]

 

Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ và số nguyên tố $p \geq 5$ thỏa mãn:

$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1) \qquad (1)$$

Lời giải. Ta có $$(1) \Leftrightarrow (4m+1)(m^2+3)=3p^n.$$

Dễ thấy rằng $m=0$ không thoả mãn. Vậy $m \ge 1$. Ta xét hai trường hợp:

 

TH1: Nếu $3|4m+1$, đặt $4m+1=3p^k,m^2+3=p^q$ với $k,q \in \mathbb{N}^*$. Ta suy ra $m= \frac{3p^k-1}{4} \Rightarrow m^2= \frac{9p^{2k}-6p^k+1}{16}$. Do đó $$16p^q=16m^2+48=9p^{2k}-6p^k+49. \qquad (2)$$

Vì $q,k \ge 1$ nên $p|49$ suy ra $p=7$. Khi đó $$(2) \Leftrightarrow 4 \cdot 7^{q-2}=9 \cdot 7^{2k-2}-6 \cdot 7^{k-2}+1.\qquad (3)$$

 

Với $k=1$ thì $m=5$ suy ra $m^2+3$ chẵn nên $p^n$ chẵn, mâu thuẫn.

Với $k=2$ thì $2m=73$, mâu thuẫn.

Với $q=1$ thì $m=2$. Khi đó $3p^n=3^2 \cdot 7$, mâu thuẫn.

Với $q=2$ thì $m^2=46$, mâu thuẫn.

Với $k,q \ge 3$ thì từ $(3)$ suy ra mâu thuẫn.

 

TH2: Nếu $3|m^2+3$, đặt $m^2+3=3 \cdot p^l,4m+1=p^h$ với $l,h \in \mathbb{N}^*$ thì $m= \frac{p^{h}-1}{4} \Rightarrow m^2=\frac{p^{2h}-2 \cdot p^h+1}{16}$. Do đó $$48p^l=16m^2+48=p^{2h}-2 \cdot p^h+49$$

Ta dẫn đến $p=7$. Khi đó thì $$48 \cdot 7^{l-2}=7^{2h-2}-2 \cdot p^{h-2}+1$$

Xét tương tự thì ta thấy $h=2$ thì $m=12$. khi đó $n=4$.

 

Vậy $\boxed{(m,n)=(12,4)}$.

[mathandyou]

Bài này là Indian MO 2013.Xem tại:

http://www.artofprob...793b1f#p2923803