Chủ đề này có 7 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn: $ a^b=b^a$. Tìm a,b

[Rias Gremory]

Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn: $ a^b=b^a$. Tìm a,b

Cách giải khá hay ở đây. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 19-01-2014 - 19:35

[hoangmanhquan]

Cách giải khá hay ở đây. 

trời,,,,dịch ra giùm cái

không đọc được

[Rias Gremory]

trời,,,,dịch ra giùm cái

không đọc được

Bạn dùng google chrome thì nó có chữ '' Dịch '' í, chỉ cần hiểu rồi tự diễn đạt là được. Chứ mình viết lại dài lắm !!

[Dam Uoc Mo]

Nay đi lướt mới kịp xem.Anh hoangmanh quan có cần nữa ko?Em giải cho?

[buiminhhieu]

Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn: $ a^b=b^a$. Tìm a,b

Với mục đích của vấn đề này, chúng tôi sẽ giả định rằng m = n là một giải pháp tầm thường, và nó có thể được nhìn thấy rằng nếu m = 1 sau đó $1^{n}=n^{1}$⇒ m = n = 1 .

Vì vậy mà không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả định rằng 2 ≤ m < n .

Bắt đầu bằng cách chia cả hai bên bởi $m^{m}$ :

$\frac{m^{n}}{m^{m}}=\frac{n^{m}}{m^{m}}\Leftrightarrow m^{n-m}=(\frac{n}{m})^{m}$

Như phía bên tay trái là số nguyên nó sau đó phía bên tay phải là số nguyên. 
Hãy để nguyên, $k=\frac{n}{m}\Rightarrow n=k.m$

$\Leftrightarrow m^{km-n}=k^{m}\Leftrightarrow m^{m(k-1)}=k^{m}\Leftrightarrow (m^{m(k-1)})^{\frac{1}{m}}=(k^{m})^{\frac{1}{m}}$

$\Leftrightarrow m^{k-1}=k$

Như chúng ta đã loại trừ trường hợp tầm thường m = n và n = k m , rõ ràng là k ≥ 2 .

Cho k = 2 , $m^{1}$= 2 ⇒ n = 4

Chúng ta hãy xem xét k ≥ 3 : 
Khi k = 3 , $m^{2}$= 3 , và như m ≥ 2 , nó sau đó $m^{2}$> 3 . 
Bây giờ chúng ta phải chứng minh quy nạp rằng $m^{k-1}$> k và do đó $m^{k-1}$≠ k cho k ≥ 3 . 
Nếu đúng thì $m^{k-2}$> k - 1 .Do đó $m^{k-1}=m\vdots m^{k-2}> m(k-1)$ Nhưng khi $m<2,m^{k-1}> 2k-2> k$., đó là kết quả mong đợi Do đó $m^{k-1}>2k-2>k$ cho tất cả các giá trị của\$k\geq 3$
$\therefore m^{k-1}=m.m^{k-2}> m(k-1);m\geq 2,m^{k-1}>2k-2>k;m^{k-1}>k>3$

Vì vậy chúng tôi chứng minh rằng $2^{4}=4^{2}$ là giải pháp duy nhất trong số nguyên dương.

Nếu chúng ta thư giãn các điều kiện của m và n là tích cực? 
nếu chúng ta cho phép làm gì m và n là con số hợp lý?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 23-01-2014 - 20:16

[hoangmanhquan]

 

Với mục đích của vấn đề này, chúng tôi sẽ giả định rằng m = n là một giải pháp tầm thường, và nó có thể được nhìn thấy rằng nếu m = 1 sau đó $1^{n}=n^{1}$⇒ m = n = 1 .

Vì vậy mà không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả định rằng 2 ≤ m < n .

Bắt đầu bằng cách chia cả hai bên bởi $m^{m}$ :

$\frac{m^{n}}{m^{m}}=\frac{n^{m}}{m^{m}}\Leftrightarrow m^{n-m}=(\frac{n}{m})^{m}$

Như phía bên tay trái là số nguyên nó sau đó phía bên tay phải là số nguyên. 
Hãy để nguyên, $k=\frac{n}{m}\Rightarrow n=k.m$

$\Leftrightarrow m^{km-n}=k^{m}\Leftrightarrow m^{m(k-1)}=k^{m}\Leftrightarrow (m^{m(k-1)})^{\frac{1}{m}}=(k^{m})^{\frac{1}{m}}$

$\Leftrightarrow m^{k-1}=k$

Như chúng ta đã loại trừ trường hợp tầm thường m = n và n = k m , rõ ràng là k ≥ 2 .

Cho k = 2 , $m^{1}$= 2 ⇒ n = 4

Chúng ta hãy xem xét k ≥ 3 : 
Khi k = 3 , $m^{2}$= 3 , và như m ≥ 2 , nó sau đó $m^{2}$> 3 . 
Bây giờ chúng ta phải chứng minh quy nạp rằng $m^{k-1}$> k và do đó $m^{k-1}$≠ k cho k ≥ 3 . 
Nếu đúng thì $m^{k-2}$> k - 1 .Do đó $m^{k-1}=m\vdots m^{k-2}> m(k-1)$ Nhưng khi $m<2,m^{k-1}> 2k-2> k$., đó là kết quả mong đợi Do đó $m^{k-1}>2k-2>k$ cho tất cả các giá trị của\$k\geq 3$
$\therefore m^{k-1}=m.m^{k-2}> m(k-1);m\geq 2,m^{k-1}>2k-2>k;m^{k-1}>k>3$

Vì vậy chúng tôi chứng minh rằng $2^{4}=4^{2}$ là giải pháp duy nhất trong số nguyên dương.

Nếu chúng ta thư giãn các điều kiện của m và n là tích cực? 
nếu chúng ta cho phép làm gì m và n là con số hợp lý?

 

cậu dịch lại y hệt như trong cái link mà Sieunhanvang dẫn đó à?

[buiminhhieu]

cậu dịch lại y hệt như trong cái link mà Sieunhanvang dẫn đó à?

Ừ mình dịch từ đó mà