Chủ đề này có 3 trả lời

[Simpson Joe Donald]

1. Cho $\begin{cases}a>1;b>1\\a+b\le 4\end{cases}$. Tìm Min của $P=\dfrac{a^4}{(b-1)^3}+\dfrac{b^4}{(a-1)^3}$

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh:

$$\sum\frac{x(y+z)}{4-yz}\ge 2xyz$$

[Hoang Tung 126]

1. Cho $\begin{cases}a>1;b>1\\a+b\le 4\end{cases}$. Tìm Min của $P=\dfrac{a^4}{(b-1)^3}+\dfrac{b^4}{(a-1)^3}$

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh:

$$\sum\frac{x(y+z)}{4-yz}\ge 2xyz$$

Bài 1: Theo AM-GM có :$\frac{a^4}{(b-1)^3}+16(b-1)+16(b-1)+16(b-1)\geq 4\sqrt[4]{16^3.a^4}=32a$

                                      $\frac{b^4}{(a-1)^3}+16(a-1)+16(a-1)+16(a-1)\geq 32b$

Cộng theo vế $= > P\geq 96-16(a+b)\geq 96-16.4=32$

[luuvanthai]

Mình nhớ mang máng bài 2 là 1 bài trong đề thi hsg tỉnh thanh hoá 2011,2012 gì đó?Mỗi tội k nhớ lời giải:

Chia cả 2 vế cho xyz.Viết bdt lại thành 

$\sum \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{4-xy}\geq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}(\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz})\geq 2$

AD $\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz}\geq \frac{4}{8-x(y+z)}=\frac{4}{8-3x+x^{2}}$

Do đó ta chỉ cần cm $\sum \frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{2}$

Dùng tiếp tuyến hoặc cân bằng hệ số ta có $\frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{36}(x-1)+\frac{1}{6}$

ĐẾN ĐÂY LÀ OK RÒi

[Simpson Joe Donald]

Mình nhớ mang máng bài 2 là 1 bài trong đề thi hsg tỉnh thanh hoá 2011,2012 gì đó?Mỗi tội k nhớ lời giải:

Chia cả 2 vế cho xyz.Viết bdt lại thành 

$\sum \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{4-xy}\geq 2$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}(\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz})\geq 2$

AD $\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz}\geq \frac{4}{8-x(y+z)}=\frac{4}{8-3x+x^{2}}$

Do đó ta chỉ cần cm $\sum \frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{2}$

Dùng tiếp tuyến hoặc cân bằng hệ số ta có $\frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{36}(x-1)+\frac{1}{6}$

ĐẾN ĐÂY LÀ OK RÒi

Em thắc mắc tí!!!

$\sum \frac{1}{x}(\frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-xz})\geq 2\iff \sum \frac{1}{x}.\frac{4}{8-3x+x^2}\ge 2$

Vì sao lại chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{x^{2}-3x+8}\geq \frac{1}{2}$