Chủ đề này có 145 trả lời

[nguyentrungphuc26041999]

hệ tương đương với $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

trường hợp 1 nếu $x=y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x +1=0& \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3< 0$ nên hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

nếu $y=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 nếu $y=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

 

d = 10

S = 36

[Frankie nole]

HPT tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

Trường hợp 1 

nếu $x=y$ hệ trở thành

$ \left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3 <0$ suy ra hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $ \left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

  nếu $y=\frac{1}{4}$ thì $x=\frac{3}{8}$

  nếu $y=\frac{1}{2}$ thì $x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ),\left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right )\right \}$

[Nguyen Duc Thuan]

Mở rộng 1:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}3x^4+2x^2y-5y^2=0(1)\\4x^2+\sqrt{x}=2y+3\sqrt{y}(2)\end{cases}$

Giải: ĐKXĐ: $x,y\geq 0$

*) Nếu $y=0$ $\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn)

*) Nếu $y> 0$, ta có:

$(1)\Leftrightarrow (x^2-y)(3x^2+5y)=0$

$ \Leftrightarrow x^2=y$ (xét đc) hoặc $3x^2=-5y$ (loại do $3x^2\geq 0> -5y$)

    Khi $x^2=y$, thay vào (2) ta có: (để ý $\sqrt{x^2}=x$)

                   $4x^2+\sqrt{x}=2x^2+3x$

$\Leftrightarrow 2x^2-3x+\sqrt{x}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(2x+2\sqrt{x}-1)=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}\in \left \{ 0;1;\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right \}$

$\Rightarrow x\in \left \{ 0;1;\frac{2-\sqrt{3}}{2} \right \}$, tương ứng với:

$y\in \left \{ 0;1;\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(1;1);\left ( \frac{2-\sqrt{3}}{2};\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right ) \right \}$

 

[Nguyen Duc Thuan]

Mở rộng 2:

$\begin{cases}21x^6-10x^3y+y^2=0\\72x^3-6x^2y-12xy+y^2=0\end{cases}$   (*)

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^3-y)(7x^3-y)=0\\(6x^2-y)(12x-y)=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3=y\cup 7x^3=y\\6x^2=y\cup 12x=y \end{cases}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\6x^2=y \end{cases}\Rightarrow x^3=2x^2\Leftrightarrow x^2(x-2)=0$

Suy ra $x\in \left \{ 0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ 0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x^3=4x\Leftrightarrow x(x+2)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ -24;0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\6x^2=y \end{cases} \Rightarrow x^2(7x-6)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 0;\frac{6}{7} \right \}$

tương ứng với: $y\in \left \{ 0;\frac{216}{49} \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x(7x^2-12)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ -\frac{2\sqrt{21}}{7};0;\frac{2\sqrt{21}}{7} \right \}$

tương ứng với $y\in \left \{ -\frac{24\sqrt{21}}{7};0;\frac{24\sqrt{21}}{7} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(2;24);(-2;-24);\left(\frac{6}{7};\frac{216}{49}\right);\left ( \frac{2\sqrt{21}}{7};\frac{24\sqrt{21}}{7} \right );\left ( \frac{-2\sqrt{21}}{7};\frac{-24\sqrt{21}}{7} \right ) \right \}$

[l4lzTeoz]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Chia cả $2$ vế của PT (1) cho $y^{2}$ ta được :

$8(\frac{x}{y})^{2}-20\frac{x}{y}+12=0$

$\Delta '=4$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \frac{x}{y}=1 \\ \frac{x}{y}=\frac{3}{2} \end{bmatrix}$

Nếu $\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$ thay vào PT (2) ta được :

$3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta < 0$ nên PT này không có nghiệm

Nếu $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3y}{2}$ thay vào PT (2)

ta được $4(\frac{3y}{2})^{2}-6(\frac{3y}{2})+1=y^{2}-3y\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Delta =36-32=4$

$y=\frac{6\pm \sqrt{4}}{16}$

Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

$y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

____________
Chưa xét $y = 0$, trừ 1 điểm

$d = 9$

$S = 32.3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:06

[Nguyen Duc Thuan]

Mở rộng 3:

Giải hệ:

$\begin{cases}x^2-5xz+6z^2=0\\y^2-5yz+4z^2=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$  (*)

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(x-2z)(x-3z)=0\\(y-z)(y-4z)=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

Ta xét 4 trường hợp sau:

 

*) TH1: $\begin{cases}x-2z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=3z^2+2z\Leftrightarrow 16z^2=3z^2$

$\Leftrightarrow z=0$ suy ra $x=y=0$

 

*) TH2: $\begin{cases}x-2z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=48z^2+8z\Leftrightarrow 16z^2=3z$

$\Leftrightarrow z(16z-3)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=\frac{3}{16}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4} \right )$

 

*) TH3: $\begin{cases}x-3z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=3z^2+2z\Leftrightarrow 33z^2+z=0$

$\Leftrightarrow z(33z+1)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{1}{33}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-1}{11};\frac{-1}{33} \right )$

 

*) TH4: $\begin{cases}x-3z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=48z^2+8z\Leftrightarrow 12z^2+5z=0$

$\Leftrightarrow z(12z+5)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{5}{12}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-5}{4};\frac{-5}{3} \right )$

 

Vậy $(x;y;z)\in \left \{ (0;0;0);\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4};\frac{3}{16} \right );\left ( -\frac{1}{11};-\frac{1}{33};-\frac{1}{33} \right );\left ( -\frac{5}{4};-\frac{5}{3};-\frac{5}{12} \right ) \right \}$

[Zaraki]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \qquad (1) & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \qquad (2) & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Ta sẽ làm cho phương trình $(1)$ nhìn "khó chịu" hơn một chút. 

Thay $x$ bởi $\frac{a^2}{\sqrt b}$, $y$ bởi $2 \sqrt b$. thì $(1) \Leftrightarrow a^4+3b^2-5a^2b=0 \Leftrightarrow 5b-a^2= \frac{3b^2}{a^2}$.

Lúc đó $(2) \Leftrightarrow 6(a^2-b) \sqrt b=4a^4-4b^2+b$.

Mở rộng 1. Ta có hệ mới $\begin{cases} 5b-a^2= \frac{3b^2}{a^2} \\ 6(a^2-b) \sqrt b=4a^4-4b^2+b \end{cases}$.

Để giải hệ này, ta chỉ việc đặt ngược trở lại.

 

Tương tự, ta cũng có thể thay $x,y$ bởi ẩn khác để làm hệ trở nên khó nhìn hơn.

[Zaraki]

 

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \qquad (1) (1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \qquad (2) & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Ở mở rộng 1, ta đã làm khó phương trình $(1)$ bằng cách đổi ẩn, bây giờ ta sẽ làm khó $(1)$ bằng cách cộng đại số hai phương trình (để làm mất tính đồng bậc của các hạng tử trong $(1)$).

Chẳng hạn, từ $(2) \Leftrightarrow 8x^2-12x+2=2y^2-6y$. Lấy $(1)$ trừ phương trình này ta được $$6y^2+6x+y^2=3y+1+10xy$$.

Phương trình $(2)$ có thể biến đổi thành $4x^2-6x+3=(y-1)(y-2)$.

Ta có hệ mới:

Mở rộng 2. Giải hệ $\begin{cases} 6y^2+y^2=3(y-2x)+1+10xy \\ 4x^2-6x+3=(y-1)(y-2) \end{cases}$.

Lời giải của hệ, ta làm ngược lại với định hướng mở rộng ở trên.

[BlackSelena]

(Thật sự còn khoảng nửa giờ nữa mới hết giờ làm bài nhưng anh nghĩ muộn thế này rồi không ai nộp nữa)

Thời gian thi đấu Trận 2 của cuộc thi MSS2014 đã kết thúc, các toán thủ có thể nhận xét bài làm của nhau.

Các toán thủ hãy nhận xét tích cực để giám khảo có thể chấm dễ dàng và đỡ bị thiếu sót hơn.

Lưu ý: Toán thủ nào sửa bài sẽ bị huỷ bài làm, không có trường hợp ngoại lệ!

[Rias Gremory]

Hệ <=>$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & & \\ (2x)^{2}-3.2x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} (2x-y)(x-y)=0 & & \\ (2x)^{2}-y^{2}+3(2x-y)+1=0 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} (2x-y)(x-y)=0 (1) & & \\ (2x-y)(2x+y-3)+1=0 (2)& & \end{matrix}\right.$

Từ (2) => 2x-y$\neq 0$ kết hợp (1) => x=y

Thế vào (2) ta có (2x-x)(2x+x+3)+1=0 <=>$3x^{2}+3x+1=0$ mà phương trình này vô nghiệm suy ra hệ vô nghiệm

$S=\O$

Chỗ này phân tích đa thức thành nhân tử sai !!!

[Rias Gremory]

+ Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12.y^{2}-20.0.y=0 \Rightarrow 12.y^{2}=0\Rightarrow y=0$ .Vậy x=y=0

 

+Xét x$\neq 0$ ta có $8x^{2} + 12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8+12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ ( Chia 2 vế cho $x^{2}$$\neq 0$ )

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ ta có 8+12$t^{2}$ -20t=0 $\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1 : t=1 $\Rightarrow t=1\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow x=y$

Thay  x=y vào phương trình $8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow 20x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ mà x=y $\Rightarrow$$x,y\epsilon R$ và x,y$\neq 0$

Trường hợp 2: t=$\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$

Thay vào phương trình$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12(\frac{2}{3}x)^{2}-20\frac{2}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+12.\frac{4}{9}x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+\frac{48}{9}.x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow (8+\frac{48}{9}-\frac{40}{3})x^{2}=0\Rightarrow 0.x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ và y =$\frac{2}{3}.x$

Vậy phương trình có vô số nghiệm sao cho x=y$\epsilon R$ ;x=y=0 hoặc x$\epsilon R$ và y=$\frac{2}{3}.x$

Bài của bạn này chỉ giải phương trình (1) của hệ, chưa liên quan đến phương trình (2) , Sai hoàn toàn.

Với lại, cái chỗ màu xanh, nếu $x=y=0$ là nghiệm thì làm sao mà chia được $x^{2}$

[Rias Gremory]

Từ phương trình 1 $\Leftrightarrow(2x-3y)(x-y)=0$

TH1: x=1,5y Thay vào phương trình 2 ta được 8y^2-6y+1=0 (*)

$\Rightarrow$ phương trình (*) có 2 nghiệm y=0,5 hoặc y=0,25

$\Rightarrow$ hệ có hai nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

TH2: x=y Thay vào phương trình 2 ta được 3y^2-3y+1=0 (vô nghiệm)

$\Rightarrow$ hệ vô nghiệm

 

 

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

 

Từ phương trình 1 $\Leftrightarrow4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Rightarrow$ x=1,5y hoặc x=y

TH1 x=y Thế vào phương trình 2 ta được $\Rightarrow3y^2-3y+1=0$ (vô nghiệm)

Hệ vô nghiệm

TH2 x=1,5y Thế vào phương trình 2 ta được $\Rightarrow8y^2-6y+1=0$

$\Rightarrow$ y=0,5 hoặc y=0,25

Hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

 

KL: Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0,75;0,5) ; (0,375;0,25)

Những chỗ này phải giải thích ra rõ chứ nhỉ ??

 

Từ (1) =>(x-y)(2x-3y)=0<=> x=y họăc 2x=3y

Với x=y thế vào (2) ta có$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x<=>3x^{2}-3x+1=0$

Phương trình này vô nghiệm

Với 2x=3y thế vào (2) ta có $(3y)^{2}-3.3y+1=y^{2}-3y<=> 8y^{2}-6y+1=0<=>(2y-1)(4y-1)=0$

<=> $y=\frac{1}{2} hoặc y=\frac{1}{4}$<=> $x=\frac{3}{4} hoặc y=\frac{3}{8}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $(\frac{3}{4},\frac{1}{2}),(\frac{3}{8},\frac{1}{4})$

Hai cái này không tương đương nhau!!!

[Rias Gremory]

Bài làm của toán thủ $\boxed{MSS004}$    Nguyễn Trung Hiếu      (nick diễn đàn: nguyentrunghieua)

 

  $\cdot$Hệ phương trình đã cho tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^2+3y^2-5xy=0 (1)& & \\ 4x^2-6x+1-y^2+3y=0 (2)& & \end{matrix}\right.$

 

     Ý tưởng: Bài toán trên không phải quá khó, nếu ta biết quan sát kỹ từ phương trình $(1)$ : $2x^2+3y^2-5xy=0$ 

 

              Ta coi phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn là $x$ thì $\Delta _{x}=y^2$, nên phương trình $(1)$ phân tích được thành $(x-y)(2x-3y)=0$

 

Từ đó ta đã tìm được mấu chốt của bài toán. Đến đây ta có lời giải bài toán:

 

    Lời giải:   

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0 (1)& & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$

 

     Phương trình $(1)$ tương đương: $4(x-y)(2x-3y)=0$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y &(\star) & \\ x=\dfrac{3}{2}y &(\star \star) & \end{bmatrix}$

 

        $\ast$Giải $(\star)$        .Với  $x=y$ thay vào $(2)$ ta được $3x^2-3x+1=0$ ở đây $\Delta _{x}=-3$ nên phương trình vô nghiệm.

 

        $\ast$Giải $(\star \star)$. Với $x=\dfrac{3}{2}y$ thay vào $(2)$ ta được $8y^2-6y+1=0$ $\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\dfrac{1}{2} & & \\ y=\dfrac{1}{4} & & \end{bmatrix}$

 

                   $\triangleright$Với $y=\dfrac{1}{2}$ thay vào $(\star \star)$ ta được $x=\dfrac{3}{4}$

 

                   $\triangleright$Với $y=\dfrac{1}{4}$ thay vào $(\star \star)$ ta được $x=\dfrac{3}{8}$

 

 

Vậy Hệ Phương Trình đã cho có 2 nghiệm là $(x,y)=[(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}),(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2})]$

 

                        Trên đây là lời giải của em. Chúc cuộc thi sẽ thành công tốt đẹp. Em xin hết !

Lỗi sai nhỏ . Chắc là viết lầm ..

 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y& \end{matrix}\right.$

Xét (1)$\Leftrightarrow 8x^{2}+12y^{2}-8xy-12xy=0\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow$

Vậy hoặc x=y hoặc x=1,5y

với x=y ta thế vào $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Với x=1,5y ta có $4x^{2}-6x+1=(1,5x)^{2}-4,5x\Leftrightarrow 1,75x^{2}-1,5x+1=0$ cũng vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm thực

Đoạn màu đỏ thay vào sai dẫn đến bài làm sai.

 

+Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12y^{2}-20.0.y=0\Rightarrow 12y^{2}=0\Rightarrow y=0$ .Vậy x=y=0

+Xét x$\neq 0\Rightarrow 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8 +12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ (Chia cả 2 vế cho $x^{2}\neq 0$)

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ phương trình sẽ là $8+12t^{2}-20t=0\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1: t=1$\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow y=x$ thay y=x vào phương trình $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$ ta có $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-x^{2}+3x=0\Rightarrow 3x^{2}-3x+1=0\Rightarrow 3(x^{2}-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0\Rightarrow 3(x^{2}-\frac{1}2{})^{2}+\frac{1}{4}=0 Do 3(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+ \frac{1}{2}>0$ ( vô lí) $\Rightarrow$ loại

Trường hợp 2: $t=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}.x$ thay vào phương trình ta có:$4x^{2}-6x+1=(\frac{2}{3}.x)^{2}-3.\frac{2}{3}x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-\frac{4}{9}x^{2}+x=0\Rightarrow \frac{32}{9}x^{2}-5x+1=0\Rightarrow \frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}=0$

Do$\frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}>0$(vô lí)$\Rightarrow$ loại

Vậy x=y=0

Nghiệm $(0;0)$ không là nghiệm của phương trình (2)

Chỗ màu xanh thay vào bị lỗi

 

 

Bài làm của MSS54 (đã chỉnh sửa latex)

 

Ta có: $\left\{\begin{matrix}4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \\ 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x^2-5xy+3y^2=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ 

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}(x-y)(2x-3y)=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x-y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ $\left \langle 1 \right \rangle$ hoặc $\left\{\begin{matrix}2x-3y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ $\left \langle 2 \right \rangle$

 

- Xét hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ , thay x = y vào phương trình dưới của hệ ta được $4y^2-6y+1=y^2-3y.$ $\Leftrightarrow 3y^2-3y+1=0.$ (1)

 

Phương trình (1) có $\Delta=(-3)^2-4.3.1=-3<0$ nên Phương trình (1) vô nghiệm, tức hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ vô nghiệm.

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho vô nghiệm. ( * )

 

- Xét hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ , thay 2x = 3y vào phương trình dưới của hệ ta được $9y^2-9y+1=y^2-3y$ $\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0.$ (2)

 

$\Delta'=(-3)^2-8.1=1$ $\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm $y=\left (\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right )$

 

$\Rightarrow$ hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ có hai nghiệm $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ (**)

 

Kết hợp ( * ) và (**) $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$

 

Kết luận bị ngược giữa nghiệm $(x;y)\neq (y;x)$

 

Bài làm MSS trận 2

Cách 1:

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$ ( ở đây coi $x$ là ẩn cần giải và $y$ là một " hằng số " tự tạo trước để tạo hệ thức chứ không sử dụng như hằng số thật sự)

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{4}$

Thử lại vào hệ phương trình ta nhận $(x;y)=(0.75;0.5)$ là nghiệm

Cách 2: ------------------------------------Mở rộng thêm cách ---------------------------------------------

Có thể nhẩm ngay ra nghiệm là $0,75;0.5$ như trên và ta sẽ nhóm nhân tử =.=! theo công thức $Ax^2+Bxy+Cx^2=A(x-x_1)(x-x_2)$

$\left\{\begin{matrix} 8x^2-20xy+12y^2=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(x-\frac{3}{2}y)(x-y)=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.$

Xét tương tự như trên

Th1: $x=y$ vô lý

Th2: $x=\frac{3}{2}y$ tương tự như cách 1 ta có điều phải chứng minh

P/S: Chủ chốt dạng hpt này là phải tạo ra tích và xét trường hợp liên hệ giữa $x;y$ rồi suy ra kết luận

Có thể dùng định lý Viete để giải hệ bằng cách cho sẵn 1 trong 2 ẩn là $x;y$ là " hằng số " dù chưa có để tạo hệ thức giữa chúng rồi chia TH nhỏ ra giải

   

Trường hợp này giải thiếu $1$ cặp nghiệm

[Rias Gremory]

 

Ta có :

Phương trình 1$\Leftrightarrow$ $4(x-y).(2x-3y) = 0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

Trường hợp 1: $x=y$

Thay vào phương trình (2) ta có: 

 $4.x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$                                    (*)

$\Leftrightarrow 3.x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$

Xét $x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ =$(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{12}> 0$

$\Rightarrow$ phương trình (*) vô nghiệm . vậy nếu x=y thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Trường hợp 2: $2x=3y$

$\Rightarrow$ $y=\frac{2}{3}.x$

Thay vào phương trình (2) ta có:

$4.x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x \Leftrightarrow \frac{32}{9}.x^{2}-5x+1=0$  (**)

Xét $\Delta$ của phương trình (**) ta có

$\Delta$=$5^{2}-4.\frac{32}{9}.1> 0$

$\Rightarrow$ Nghiệm x của hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$ là: $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ hoặc $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$

Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$

 

Vậy  Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

         Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$

Phần thay vào sai!!

 

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Bài làm của bạn chưa tìm ra nghiệm $y$

 

Chia cả $2$ vế của PT (1) cho $y^{2}$ ta được :

$8(\frac{x}{y})^{2}-20\frac{x}{y}+12=0$

$\Delta '=4$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \frac{x}{y}=1 \\ \frac{x}{y}=\frac{3}{2} \end{bmatrix}$

Nếu $\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$ thay vào PT (2) ta được :

$3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta < 0$ nên PT này không có nghiệm

Nếu $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3y}{2}$ thay vào PT (2)

ta được $4(\frac{3y}{2})^{2}-6(\frac{3y}{2})+1=y^{2}-3y\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Delta =36-32=4$

$y=\frac{6\pm \sqrt{4}}{16}$

Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

$y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

Bạn chưa xét trường hợp $y=0$ không là nghiệm của phương trình, nên không thể chia cho $y^{2}$

[buiminhhieu]

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Thiếu nghiệm y nên nhớ đây là giải phương rình

[buiminhhieu]

Mở rộng 1:

Giải: ĐKXĐ: $x,y\geq 0$

*) Nếu $y=0$ $\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn)

*) Nếu $y> 0$, ta có:

$(1)\Leftrightarrow (x^2-y)(3x^2+5y)=0$

$ \Leftrightarrow x^2=y$ (xét đc) hoặc $3x^2=-5y$ (loại do $3x^2\geq 0> -5y$)

    Khi $x^2=y$, thay vào (2) ta có: (để ý $\sqrt{x^2}=x$)

                   $4x^2+\sqrt{x}=2x^2+3x$

$\Leftrightarrow 2x^2-3x+\sqrt{x}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(2x+2\sqrt{x}-1)=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}\in \left \{ 0;1;\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right \}$

$\Rightarrow x\in \left \{ 0;1;\frac{2-\sqrt{3}}{2} \right \}$, tương ứng với:

$y\in \left \{ 0;1;\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(1;1);\left ( \frac{2-\sqrt{3}}{2};\frac{7-4\sqrt{3}}{4} \right ) \right \}$

 

Mở rộng 2:

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^3-y)(7x^3-y)=0\\(6x^2-y)(12x-y)=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3=y\cup 7x^3=y\\6x^2=y\cup 12x=y \end{cases}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\6x^2=y \end{cases}\Rightarrow x^3=2x^2\Leftrightarrow x^2(x-2)=0$

Suy ra $x\in \left \{ 0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ 0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}3x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x^3=4x\Leftrightarrow x(x+2)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;0;2 \right \}$ tương ứng: $y\in \left \{ -24;0;24 \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\6x^2=y \end{cases} \Rightarrow x^2(7x-6)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 0;\frac{6}{7} \right \}$

tương ứng với: $y\in \left \{ 0;\frac{216}{49} \right \}$

 

*) Nếu $\begin{cases}7x^3=y\\12x=y \end{cases} \Rightarrow x(7x^2-12)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ -\frac{2\sqrt{21}}{7};0;\frac{2\sqrt{21}}{7} \right \}$

tương ứng với $y\in \left \{ -\frac{24\sqrt{21}}{7};0;\frac{24\sqrt{21}}{7} \right \}$

 

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(2;24);(-2;-24);\left(\frac{6}{7};\frac{216}{49}\right);\left ( \frac{2\sqrt{21}}{7};\frac{24\sqrt{21}}{7} \right );\left ( \frac{-2\sqrt{21}}{7};\frac{-24\sqrt{21}}{7} \right ) \right \}$

 

Mở rộng 3:

Giải:

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}(x-2z)(x-3z)=0\\(y-z)(y-4z)=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

Ta xét 4 trường hợp sau:

 

*) TH1: $\begin{cases}x-2z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=3z^2+2z\Leftrightarrow 16z^2=3z^2$

$\Leftrightarrow z=0$ suy ra $x=y=0$

 

*) TH2: $\begin{cases}x-2z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 16z^2+2z=48z^2+8z\Leftrightarrow 16z^2=3z$

$\Leftrightarrow z(16z-3)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=\frac{3}{16}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4} \right )$

 

*) TH3: $\begin{cases}x-3z=0\\y-z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=3z^2+2z\Leftrightarrow 33z^2+z=0$

$\Leftrightarrow z(33z+1)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{1}{33}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-1}{11};\frac{-1}{33} \right )$

 

*) TH4: $\begin{cases}x-3z=0\\y-4z=0\\4x^2+x=3y^2+2y\end{cases}$

$\Rightarrow 36z^2+3z=48z^2+8z\Leftrightarrow 12z^2+5z=0$

$\Leftrightarrow z(12z+5)=0\Leftrightarrow z=0\cup z=-\frac{5}{12}$

tương ứng với: $(x;y)=(0;0)\cup (x;y)=\left ( \frac{-5}{4};\frac{-5}{3} \right )$

 

Vậy $(x;y;z)\in \left \{ (0;0;0);\left ( \frac{3}{8};\frac{3}{4};\frac{3}{16} \right );\left ( -\frac{1}{11};-\frac{1}{33};-\frac{1}{33} \right );\left ( -\frac{5}{4};-\frac{5}{3};-\frac{5}{12} \right ) \right \}$

Mình nghĩ 3 mở rộng này không liên quan tới bài toán nhiều cậu à

[buiminhhieu]

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $(\frac{1}{2};\frac{1}{4})$

Thử lại vào hệ phương trình nhận $\begin{bmatrix} x=0.75\\ y=0.5 \end{bmatrix}$ là nghiệm của phương trình

p/s:
Cách của em là tính hệ thức liên hệ giữa x và y thông qua viete rồi xét trường hợp nghiệm

Có thể phá trị tuyệt đối ở trường hợp này không ảnh hưởng đến khi làm vì $x;y$ không thể âm

Em làm tắt phần lý luận     

Đây đâu phải định lí viete

[buiminhhieu]

Ta có:8x²+12y²-20xy=8(x²-2,5yx+1,5y²)=8(x²-xy-1,5xy+1,5y²)=8[x(x-y)-1,5y(x-y)]=8(x-y)(x-1,5y)=0

=>x=y hoặc x=1,5y

*Trường hợp 1:x=y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>4x²-6x+1=x²-3x

<=>4x²-6x+1+3x-x²=0<=>3x²-3x+1=0<=>3(x²-x+1/3)=0(phương trình vô nghiệm vì x²$\geqslant x$=>x²+1/3>x)

*Trường hợp 2:x=1,5y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>9y²-9y+1=y²-3y

<=>9y²-y²-9y+3y+1=0<=>8y²-6y+1=0<=>8(y²-0,75y+1)<=>8(y²-0,5y-0,25y+1/8)<=>8[y(y-0,5)-0,25(y-0,50]=0<=>8(y-0,25)(y-0,5)=0

suy ra y=0,25 hoặc y=0,5 

Tại y=0,25 thì x=1,5.0,25=0,375

      y=0,5 thì x=1,5.0,5=0,75

Thử lại ta thấy các kết quả trên thoả mãn với hệ phương trình

Tóm lại các cặp số (x;y) thoả mãn hệ phương trình là:(0,375;0,25);(0,75;0,5)

Bài viết vui lòng gõ latex

Lập luận sai do $0< x< 1$ thì chắc gì $x^{2}\geq x$

[buiminhhieu]

Từ phương trình đầu phân tích thành nhân tử ta có

                                   $8x^{2}+12y^{2}-20xy=8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=(8x-12y)(x-y)=4(2x-3y)(x-y)=0$ 

Đến đây xảy ra hai trường hợp là $x=y$ hoặc $2x=3y$

Ta xét trường hợp đầu tiên là $x=y$ khi đó thay vào phương trình thứ hai thu được

                                    $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x<=>3x^{2}-3x+1=0$

Phương trình này vô nghiệm do $\Delta = (-3)^{2}-12=-3<0$ 

Vậy chỉ còn trường hợp $2x=3y$ thay vào theo biến $y$ thu được

                                     $4x^{2}-6x+1=(2x)^{2}-3.(2x)+1=9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y<=>8y^{2}-6y+1=0$

Điều này tương đương với $8y^{2}-4y-2y+1=0<=>4y(2y-1)-(2y-1)=0<=>(2y-1)(4y-1)=0$

Nên hoặc là $y=\frac{1}{2}$ hoặc là $y=\frac{1}{4}$ từ đó có $x$ hoặc là $\frac{3}{4}$ hoặc là $\frac{3}{8}$

Kết luận , phương trình có các nghiệm $(x,y)=(\frac{3}{4},\frac{1}{2});(\frac{3}{8},\frac{1}{4})$

Chỗ này chưa thực sự chính xác vì 

nhừ thế sẽ có hoán vị và phương trình có 4 nghiệm cậu nên viết cẩn thận

[nghiemthanhbach]

Đây đâu phải định lí viete

nó là viêt đấy