Chủ đề này có 145 trả lời

[buiminhhieu]

$\left\{\begin{matrix}8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(8x-12y)=0(1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$

$(1) \Rightarrow \begin{bmatrix}x=y & & \\ x=\frac{3}{2}y & & \end{bmatrix}$

* Nếu $x=y$:

Thay vào PT (2) có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ (*)

$\Delta =9-12=-3<0$ Suy ra (*) vô nghiệm.

 * Nếu $x=\frac{3}{2}y$

Thay vào PT (2) có:
$4(\frac{3}{2}y)^{2}-6(\frac{3}{2}y)+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}y=\frac{1}{2} & & \\ y=\frac{1}{4} & & \end{bmatrix}$

Với $y=\frac{1}{2}$ thì $x=\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}$

Với $y=\frac{1}{4}$ thì $x=\frac{3}{2}y=\frac{3}{8}$

Vậy $(x;y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

Chỗ này có vấn đề

Thay y tìm x sai

[buiminhhieu]

nó là viêt đấy

Zậy hả mình tưởng nó thế này

http://vi.wikipedia....i/Định_lý_Viète

[buiminhhieu]

Chỗ này có vấn đề

Thay y tìm x sai

Xin lỗi mình sai 

[Simpson Joe Donald]

MSS19
$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-2xy-3xy+3y^{2}=0 \Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0 \Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0 \Rightarrow 2x-3y=0$
hoặc $x-y=0$
Nếu $x-y=0$ thì $x=y$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0 \Leftrightarrow 3x^{2}-3x+ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x^{2}-x+ \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4} \Rightarrow$

vô lý
Nếu $2x-3y=0$ thì $x= \frac{3y}{2}$ mà $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \Rightarrow 4.( \frac{3y}{2})^{2}-6. \frac{3y}{2}+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y \Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1 =0 \Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0 \Leftrightarrow 4y(2y-1)-(2y-1)=0 \Leftrightarrow (4y-1)(2y-1)=0 \Rightarrow 4y-1=0$ hoặc $2y-1=0 \Rightarrow y= \frac{1}{4}$
hoặc $y= \frac{1}{2}$

mà $x= \frac{3y}{2} \Rightarrow$

Với $y= \frac{1}{4}$

thì $x= \frac{3}{8}$

Với $y= \frac{1}{2}$

thì $x= \frac{3}{4}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x= \frac{3}{8};y= \frac{1}{4}$

và $x= \frac{3}{4};y= \frac{1}{2}$
 

Đầu tiên, đoạn bôi đỏ đầu tiên , bạn viết $3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4}$ , cái này dễ làm người đọc hiểu nhầm là $0\ge \dfrac{1}{4}????$

Đoạn thứ 2 có vẻ hơi khó hiểu nhỉ, cái chữ "hoặc" tự nhiên nhảy ra giữa dòng là như thế nào??? Có lẽ đoạn này lỗi latex???

[buiminhhieu]

Đầu tiên, đoạn bôi đỏ đầu tiên , bạn viết $3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4}$ , cái này dễ làm người đọc hiểu nhầm là $0\ge \dfrac{1}{4}????$

Đoạn thứ 2 có vẻ hơi khó hiểu nhỉ, cái chữ "hoặc" tự nhiên nhảy ra giữa dòng là như thế nào??? Có lẽ đoạn này lỗi latex???

Ý của người viết có lẽ là để $0\geq \frac{1}{4}$ để dẫn đến mâu thuẫn

[Simpson Joe Donald]

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y& \end{matrix}\right.$

Xét (1)$\Leftrightarrow 8x^{2}+12y^{2}-8xy-12xy=0\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow$

Vậy hoặc x=y hoặc x=1,5y

với x=y ta thế vào $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Với x=1,5y ta có $4x^{2}-6x+1=(1,5x)^{2}-4,5x\Leftrightarrow 1,75x^{2}-1,5x+1=0$ cũng vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm thực

Với $x=1,5y$ thì $4(1,5y)^2-6.1,5y+1=y^2-3y$ chứ nhỉ?? Bạn nhầm $x=1,5y$ với $y=1,5x$ rồi

[Simpson Joe Donald]

Ý của người viết có lẽ là để $0\geq \frac{1}{4}$ để dẫn đến mâu thuẫn

Tất nhiên là mình hiểu nhưng trong toán học không được viết như thế , dễ làm người đọc hiểu nhầm. Nếu mà như thế thì phải viết viết $3(x-\frac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}=0$( vô lý)

[buiminhhieu]

pt(1)$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0\Leftrightarrow 2x^2-2xy-3xy+3y^2=0\Leftrightarrow(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\2x=3y \end{bmatrix}$

- Với $x=y$ thì thay vào pt (2), ta có: $4x^2-6x+1-x^2+3x=0 \Leftrightarrow 4x^2-3x+1=0$ (vô nghiệm)

- Với $2x=3y$ thì thay vào (2) ta có: $9y^2-9y+1-y^2+3y=0\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}\\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm pt là (x,y)=( $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$),($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{8}$)

p/s: Thực ra em gửi bài này với 1 thắc mắc nho nhỏ là thường thì phuơng trình ở đề phải đc rút gọn chứ k phải như ở pt (1), em thực sự k hiểu mục đích của việc này là gì, nếu k có mục đích gì thì thôi ak

Nhầm chỗ này

Phải là $3x^{2}-3x+1=0$ 

[buiminhhieu]

Tất nhiên là mình hiểu nhưng trong toán học không được viết như thế , dễ làm người đọc hiểu nhầm. Nếu mà như thế thì phải viết viết $3(x-\frac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}=0$( vô lý)

Cậu còn tai hại hơn tại sao $\frac{1}{4}=0$?

Mình nghĩ nó phải thế này

$0=3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 0\geq \frac{1}{4}$(vô lí)

[LumiseEdireKRN]

Đầu tiên, đoạn bôi đỏ đầu tiên , bạn viết $3(x- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} = 0 \geq \frac{1}{4}$ , cái này dễ làm người đọc hiểu nhầm là $0\ge \dfrac{1}{4}????$

Đoạn thứ 2 có vẻ hơi khó hiểu nhỉ, cái chữ "hoặc" tự nhiên nhảy ra giữa dòng là như thế nào??? Có lẽ đoạn này lỗi latex???

Thì chính vì suy ra được $0 \geq \frac{1}{4}$ mới dẫn tới điều vô lý và tôi đã suy ra điều đó vô lý rồi mới bay qua trường hợp khác

[Simpson Joe Donald]

Cậu còn tai hại hơn tại sao $\frac{1}{4}=0$?

Mình nghĩ nó phải thế này

$0=3(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 0\geq \frac{1}{4}$(vô lí)

ờ, mình gõ nhầm cái dấu bằng đó là dấu $>$

[Yagami Raito]

Cách 2 (cách này đơn giản cũng giống cách 1 nhưng pt 1 dễ phân tích thành nhân tử hơn.)

Điều kiện (cách 1 quên chưa đặt đk, mong btc thông cảm) :$x,y$ thuộc $\mathbb{R}$

• Xét $y=0$ Từ pt thứ nhất $\Rightarrow x=0$

Thay $(x;y)=(0;0)$ vào pt thứ 2, thấy không thỏa mãn nên $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của hệ.

• Xét $y\neq$0. Chia 2 vế của pt 1 cho $y^{2}$:

$2(\frac{x}{y})^{2}-5\frac{x}{y}+3=0$(*)

Đặt $\frac{x}{y}=t$(t thuộc $\mathbb{R}$). PT (*) trở thành:

$2t^{2}-5t+3=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(2t-3)=0$

 

$\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{3}{2}$

 

+Với $t=1$$\Rightarrow x=y$

PT 2 $\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =3^{2}-4.3=-3 < 0$

Suy ra hệ vô nghiệm.

 

+ Với $t=\frac{3}{2}\Rightarrow 2x=3y$

PT 2 $\Rightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Delta =3^{2}-8.1=1$

PT có 2 nghiệm phân biệt :

$y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

$y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 

Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

 

Nhận xét đầu tiên : Với những bài hệ thấy này việc tìm điều kiện của $x,y$ là không cần thiết. 

 

Cách thứ 2 của bạn mặc dù không sai nhưng đã làm phức tạp lên vấn đề. Rõ ràng ở ngay phương trình đầu việc phân tích thành nhân tử với việc chia cho $y^2$ phân tích thành nhân tử là tương đương nhau... Làm như bạn ta phải xét thêm $y=0$ .

 

 

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Đây là nhận xét của mình. Bài làm trên bạn làm còn sơ sài ... 

$+)$ Ở trường hợp đầu tiên đến pt $3x^2-3x+1=0$ bạn nói vô nghiệm luôn : điều này cần một sự giải thích. 

 

$+)$ Cuối bài làm bạn chưa kết luận tập nghiệm của hệ phương trình !

 

 

MSS19

Mở Rộng

Giải hệ phương trình (ẩn là $x,y$)

$\left\{\begin{matrix}kmpx^{2}+knqy^{2}+(kmq+knp)xy=0 & & \\ax^{2}+bx+c=uy^{2}+vy & & \end{matrix}\right.$

($a,b,c,m,n,p,q,u,v \epsilon Q$; $a,b,c,m,n,p,q,u,v,k \neq 0$)

 

 

 

 

 

 

Mở rộng này bạn ít nhất là phải nêu cách giải chứ 

 

 

Ta có :

Phương trình 1$\Leftrightarrow$ $4(x-y).(2x-3y) = 0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

Trường hợp 1: $x=y$

Thay vào phương trình (2) ta có: 

 $4.x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$                                    (*)

$\Leftrightarrow 3.x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$

Xét $x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ =$(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{12}> 0$

$\Rightarrow$ phương trình (*) vô nghiệm . vậy nếu x=y thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Trường hợp 2: $2x=3y$

$\Rightarrow$ $y=\frac{2}{3}.x$

Thay vào phương trình (2) ta có:

$4.x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x \Leftrightarrow \frac{32}{9}.x^{2}-5x+1=0$  (**)

Xét $\Delta$ của phương trình (**) ta có

$\Delta$=$5^{2}-4.\frac{32}{9}.1> 0$

$\Rightarrow$ Nghiệm x của hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$ là: $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ hoặc $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$

Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$

 

Vậy  Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

         Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$

Bài làm của bạn giải sai TH 2

 

 

[Yagami Raito]

Hệ <=>$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & & \\ (2x)^{2}-3.2x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} (2x-y)(x-y)=0 & & \\ (2x)^{2}-y^{2}+3(2x-y)+1=0 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} (2x-y)(x-y)=0 (1) & & \\ (2x-y)(2x+y-3)+1=0 (2)& & \end{matrix}\right.$

Từ (2) => 2x-y$\neq 0$ kết hợp (1) => x=y

Thế vào (2) ta có (2x-x)(2x+x+3)+1=0 <=>$3x^{2}+3x+1=0$ mà phương trình này vô nghiệm suy ra hệ vô nghiệm

$S=\O$

Bài của Lân sai rồi phân tích sai nhân tử ở phương trình đầu dẫn đến bài hệ vô nghiệm 

 

 

Bài làm MSS trận 2

Cách 1:

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$ ( ở đây coi $x$ là ẩn cần giải và $y$ là một " hằng số " tự tạo trước để tạo hệ thức chứ không sử dụng như hằng số thật sự)

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{4}$

Thử lại vào hệ phương trình ta nhận $(x;y)=(0.75;0.5)$ là nghiệm

Cách 2: ------------------------------------Mở rộng thêm cách ---------------------------------------------

Có thể nhẩm ngay ra nghiệm là $0,75;0.5$ như trên và ta sẽ nhóm nhân tử =.=! theo công thức $Ax^2+Bxy+Cx^2=A(x-x_1)(x-x_2)$

$\left\{\begin{matrix} 8x^2-20xy+12y^2=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(x-\frac{3}{2}y)(x-y)=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.$

Xét tương tự như trên

Th1: $x=y$ vô lý

Th2: $x=\frac{3}{2}y$ tương tự như cách 1 ta có điều phải chứng minh

P/S: Chủ chốt dạng hpt này là phải tạo ra tích và xét trường hợp liên hệ giữa $x;y$ rồi suy ra kết luận

Có thể dùng định lý Viete để giải hệ bằng cách cho sẵn 1 trong 2 ẩn là $x;y$ là " hằng số " dù chưa có để tạo hệ thức giữa chúng rồi chia TH nhỏ ra giải

     

Bài làm khá phức tạp nhưng hình như thiếu 1 cặp nghiệm rồi !

 

 

 

$(I)\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1)\\ 4x^2-6x+1=y^{2}-3y(2) \end{matrix}\right.$

Ta có:(1) $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-2xy-3xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow 2x-3y=0\vee x-y=0$

              $\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x\vee y=x$

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}x^{2}-2x$

$\Leftrightarrow \frac{32}{9}x^{2}-4x+1=0$ (3)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4.\frac{32}{9}.1=\frac{16}{9}> 0$

Vậy (3) có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{8}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{4}$

Thay $x=\frac{3}{8}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$

        $x=\frac{3}{4}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy (3) có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

Thay $y=x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ (4)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4.3.1=-3< 0$

Vậy (4) vô nghiệm

Vậy $(I)$ có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

 

Bài làm của bạn tính toán hơi cụ thể điều này là tốt song nó làm cho bài làm của bạn trở nên cồng cềnh 

[Simpson Joe Donald]

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

Phương trình có 2 nghiệm???Nghiệm của hệ đâu???

[Yagami Raito]

Ta có:8x²+12y²-20xy=8(x²-2,5yx+1,5y²)=8(x²-xy-1,5xy+1,5y²)=8[x(x-y)-1,5y(x-y)]=8(x-y)(x-1,5y)=0

=>x=y hoặc x=1,5y

*Trường hợp 1:x=y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>4x²-6x+1=x²-3x

<=>4x²-6x+1+3x-x²=0<=>3x²-3x+1=0<=>3(x²-x+1/3)=0(phương trình vô nghiệm vì x²$\geqslant x$=>x²+1/3>x)

*Trường hợp 2:x=1,5y

Khi đó phương trình 4x²-6x+1=y²-3y<=>9y²-9y+1=y²-3y

<=>9y²-y²-9y+3y+1=0<=>8y²-6y+1=0<=>8(y²-0,75y+1)<=>8(y²-0,5y-0,25y+1/8)<=>8[y(y-0,5)-0,25(y-0,50]=0<=>8(y-0,25)(y-0,5)=0

suy ra y=0,25 hoặc y=0,5 

Tại y=0,25 thì x=1,5.0,25=0,375

      y=0,5 thì x=1,5.0,5=0,75

Thử lại ta thấy các kết quả trên thoả mãn với hệ phương trình

Tóm lại các cặp số (x;y) thoả mãn hệ phương trình là:(0,375;0,25);(0,75;0,5)

Trận tới mong bạn hãy học cách gõ latex của diễn đàn. Bài làm của bạn làm việc quá nhiều với số thập phân, nhìn rất nhăng nhít ... chỗ pt bôi đỏ ta có thể chứng minh vô nghiệm một cách dễ dàng hơn của bạn như phân tích hoặc xét $\Delta$

 

+ Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12.y^{2}-20.0.y=0 \Rightarrow 12.y^{2}=0\Rightarrow y=0$ .Vậy x=y=0

 

+Xét x$\neq 0$ ta có $8x^{2} + 12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8+12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ ( Chia 2 vế cho $x^{2}$$\neq 0$ )

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ ta có 8+12$t^{2}$ -20t=0 $\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1 : t=1 $\Rightarrow t=1\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow x=y$

Thay  x=y vào phương trình $8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow 20x^{2}-20x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ mà x=y $\Rightarrow$$x,y\epsilon R$ và x,y$\neq 0$

Trường hợp 2: t=$\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x$

Thay vào phương trình$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8x^{2}+12(\frac{2}{3}x)^{2}-20\frac{2}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+12.\frac{4}{9}x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow 8x^{2}+\frac{48}{9}.x^{2}-\frac{40}{3}x^{2}=0\Rightarrow (8+\frac{48}{9}-\frac{40}{3})x^{2}=0\Rightarrow 0.x^{2}=0\Rightarrow x\epsilon R$ và y =$\frac{2}{3}.x$

Vậy phương trình có vô số nghiệm sao cho x=y$\epsilon R$ ;x=y=0 hoặc x$\epsilon R$ và y=$\frac{2}{3}.x$

bài làm của bạn giải sai cả trường hợp 1 cả trường hợp 2 rồi 

 

 

 

Ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix} \right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2-5xy+3y^2=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x-3y)=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 1 \right \rangle$ 

 

hoặc $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 2 \right \rangle$

 

- Xét hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ , thay x = y vào phương trình dưới ta được $4y^2-6y+1=y^2-3y.$ $\Leftrightarrow 3y^2-3y+1=0.$ (1)

 

Phương trình (1) có $\Delta=(-3)^2-4.3.1=-3<0$ nên Phương trình (1) vô nghiệm, tức hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ vô nghiệm.

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho vô nghiệm. ( * )

 

- Xét hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ , thay 2x = 3y vào phương trình dưới ta được $9y^2-9y+1=y^2-3y$ $\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0.$ (2)

 

$\Delta'=(-3)^2-8.1=1$ $\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm $y=\left (\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right )$

 

$\Rightarrow$ hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ có hai nghiệm $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ 

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ (**)

 

Kết hợp ( * ) và (**) $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$

 

Lỗi latex...

 

 

Bài làm của MSS43:

Ta có HPT: $\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0(1) & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y(2) & \end{matrix}\right.$

Xét $x= 0$.

Thay x=0 vào (1) ta được y=0.

Thay x=y=0 vào (2) ta thấy 0+1=0(Vô lý)

Vậy x=y=0 không phải là nghiệm của HPT.

Xét $x\neq 0$.

Từ (1), ta có:

$8x^2+12y^2-20xy=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0(3)$.

Chia 2 vế của (3) cho $x^2$, ta được:

$2+3\frac{y^2}{x^2}-5\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$, ta có:

$3t^2-5t+2=0$

$\Leftrightarrow (3t-2)(t-1)=0$

Vậy $t=\frac{2}{3}$ hoặc $t=1$

hay $y=\frac{2}{3}x$ hoặc y=x.

TH1: $y=\frac{2}{3}x$.

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta có:

$\frac{32}{9}x^2-4x+1=0$

$\Leftrightarrow (4x-3)(8x-3)=0$

Vậy   $x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$

hoặc $x=\frac{3}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{4}$.

TH2: y=x.

Thay y=x vào (2) ta có:

$3x^2-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}=0$ ( Vô lý)

Vậy nghiệm của HPT là $(x;y)\epsilon \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$.

 

 

Mở rộng: PT(1) của HPT trên là PT đẳng cấp bậc 2. Với dạng tổng quát của PT đẳng cấp bậc 2, ta giải như sau:

Ta có: $ax^2+by^2+cxy=0$ (1)

Xét x=0. Từ đó suy ra y=0. Từ đó thay x=y=0 vào PT còn lại xem x=y=0 có phải là nghiệm của HPT không.

Xét $x\neq 0$.

Chia 2 vế của (1) cho $x^2$, ta được:

$(1)\Leftrightarrow a+b\frac{y^2}{x^2}+c\frac{y}{x}=0$

Đặt $\frac{y}{x}=t(t\neq 0)$.

Ta có: $bt^2+ct+a=0$.

Xét $\Delta =c^2-4ab$.

Sử dụng công thức nghiệm bậc 2, ta có:

$t=\frac{-c+\sqrt{\Delta }}{2b}$

hoặc $t=\frac{-c-\sqrt{\Delta }}{2b}$.

Từ đó rút x qua y và thế vào PT còn lại để tìm nghiệm của HPT.

 

Kết luận tập nghiệm của bạn bị ngược

 

 

pt(1)$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0\Leftrightarrow 2x^2-2xy-3xy+3y^2=0\Leftrightarrow(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\2x=3y \end{bmatrix}$

- Với $x=y$ thì thay vào pt (2), ta có: $4x^2-6x+1-x^2+3x=0$ $\Leftrightarrow 4x^2-3x+1=0$ (vô nghiệm)

- Với $2x=3y$ thì thay vào (2) ta có: $9y^2-9y+1-y^2+3y=0\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}\\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm pt là (x,y)=( $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$),($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{8}$)

p/s: Thực ra em gửi bài này với 1 thắc mắc nho nhỏ là thường thì phuơng trình ở đề phải đc rút gọn chứ k phải như ở pt (1), em thực sự k hiểu mục đích của việc này là gì, nếu k có mục đích gì thì thôi ak

Chỗ bôi đỏ chắc viết vội nên bị nhầm rồi kìa: pt phải là  $3x^2-3x+1$ chứ. Em cũng hơi thắc mắc với BQT là đề trận 2 ra không khó ... mà phân pt hệ pt là phần quan trọng và thiết yếu (không bù cho trận 1). Và em cũng không biết mục đích cho pt 1 chưa rút gọn là gì ! 

[Yagami Raito]

 

Bài làm của SIEUNHANVANG :

 

Ta có Hệ : $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1) \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y \\ 2x=3y \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $x=y$ thay vào phương trình (2) ta được $3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =-3<$ Suy ra trường hợp này vô nghiệm

$\blacksquare$ $2x=3y$ thay vào phương trình (2) ta được $(3y)^{2}-9y+1=y^{2}-3y\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ hoặc $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{8} \\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Lời giải chưa kết luận tập nghiệm và giải sai nghiệm rồi nhé !

 

hệ tương đương với $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

trường hợp 1 nếu $x=y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x +1=0& \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3< 0$ nên hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

nếu $y=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 nếu $y=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

 

 

HPT tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

Trường hợp 1 

nếu $x=y$ hệ trở thành

$ \left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3 <0$ suy ra hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $ \left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

  nếu $y=\frac{1}{4}$ thì $x=\frac{3}{8}$

  nếu $y=\frac{1}{2}$ thì $x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ),\left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right )\right \}$

2 bài làm trên hoàn toàn giống nhau (2 mem này cùng lớp trường mong BQT xem xét IP 2 toán thủ này )

 

 

Chia cả $2$ vế của PT (1) cho $y^{2}$ ta được :

$8(\frac{x}{y})^{2}-20\frac{x}{y}+12=0$

$\Delta '=4$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \frac{x}{y}=1 \\ \frac{x}{y}=\frac{3}{2} \end{bmatrix}$

Nếu $\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$ thay vào PT (2) ta được :

$3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta < 0$ nên PT này không có nghiệm

Nếu $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3y}{2}$ thay vào PT (2)

ta được $4(\frac{3y}{2})^{2}-6(\frac{3y}{2})+1=y^{2}-3y\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Delta =36-32=4$

$y=\frac{6\pm \sqrt{4}}{16}$

Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

$y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

Bạn quên kết luận tập nghiệm kìa 

 

@@: Còn bài làm của mình lẩm cẩm quá kết luận sai một cặp nghiêm (cặp kia bị trùng) chứ không phải giải sai mong BQT và phía trọng tài bỏ qua !

[Rias Gremory]

 

 

Lời giải chưa kết luận tập nghiệm và giải sai nghiệm rồi nhé !

 

Giải sai đâu , chỗ đó là xảy ra nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{8} \\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$ . Sai chỗ nào??

[phuocdinh1999]

Mở rộng :

Hệ Phương trình tổng quát :

$\left\{\begin{matrix} \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0 \\ ax^{2}+bx+c=dy^{2}+ey+f \end{matrix}\right.$  (*) 

với $\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b,c,d,e,f$ là hằng số, $c\neq f$

Phương trình (1) hệ (*) : $\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0$

Nếu $y=0\Rightarrow x=0$ . Thay vào Phương trình (2) $\Rightarrow c=f$ (loại)

Vậy $y\neq 0$ . Chia cả $2$ vế của phương trình (1) cho $y^{2}$ ta được :

$\alpha (\frac{x}{y})^{2}+\gamma \frac{x}{y}+\beta =0$ ( ĐK có nghiệm $\gamma ^{2}-4\alpha \beta \geq 0$ )

Đặt $t=\frac{x}{y}$ . $\Leftrightarrow \alpha t^{2}+\gamma t+\beta =0$

$\Delta =\gamma ^{2}-4\alpha \beta$

$t=\frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$x=\frac{y(-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta) }}{2\alpha }$

Thế $x$ vào phương trình (2) rồi giải phương trình bậc $2$ thuần túy.

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$\Leftrightarrow x=\frac{y(-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta })}{2\alpha }$

Đến đây cũng thế $x$ vào Phương trình (2) như trên .

Chỗ này xét thiếu trường hợp $\alpha =0$, Nếu nó bằng $0$ thì làm sao có $\bigtriangleup$ được

[nghiemthanhbach]

Chỗ này có vấn đề

Thay y tìm x sai

trời, tui xét đenta của phương trình bậc 2 với ẩn là x còn y coi như là số

==! có vấn đề gì sao

[Frankie nole]

Hiếu A spx?!