Chủ đề này có 151 trả lời

[hoangmanhquan]

 

ĐỀ SỐ 4

 

Bài 3:

a.Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:$\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2+9abc-a-b-c}$

 

Gợi ý:

Bài này ta biến đổi BDT đã cho về BDT sau:

$\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

[hoangmanhquan]

có lẽ post đề 6 đi còn các bài kia tính sau

Những đề kia còn nhiều lắm mà....xử lí tương đối đã

[laiducthang98]

Gợi ý:

Bài này ta biến đổi BDT đã cho về BDT sau:

$\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

Bài này đã có ở đây : http://diendantoanho...92-với-a2b2c21/

[hoahoalop9c]

Đề số 6

 

 

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản:

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.

Bài 2: (5 điểm)

1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoã mãn:

$a - b = \sqrt{1 - b^2} - \sqrt{1 - a^2}$.

Chứng minh rằng:

$a^2 + b^2 = 1$.

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10}$.

Bài 3: (3 điểm)

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ 

 

 $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Sin$\dfrac{A}{2}$  $\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$.

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Một đường thằng d quay xung quanh điểm A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.

-----------------------------

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoahoalop9c: 27-01-2014 - 22:43

[hoangmanhquan]

 

Đề số 6

 

 

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản:

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.

Bài 2: (5 điểm)

1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoã mãn:

$a - b = \sqrt{1 - b^2} - \sqrt{1 - a^2}$.

Chứng minh rằng:

$a^2 + b^2 = 1$.

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10}$.

Bài 3: (3 điểm)

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ \geq $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Sin$\dfrac{A}{2}$  $\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$.

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Một đường thằng d quay xung quanh điểm A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.

-----------------------------

 

Fix latex đi  bạn

[lahantaithe99]

 

Đề số 6

 

 

 

Bài 3: (3 điểm)

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ 

 

 $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.

 

 

$VT=\sum\frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}+6$

$\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})+3+6$

$=\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})+9$

do áp dụng bđt $AM-GM$ : $\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})\geq 3$

Giờ cần chứng minh $\frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b}+\sum\frac{b}{a})\geq 2(\sum \frac{a}{b+c})$

Điều này dễ dàng chứng minh từ bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 27-01-2014 - 23:06

[lovemathforever99]

Mình dứt điểm luôn nhá 

 

Bài 1: 

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.

$\Leftrightarrow (x+y)^{3}-3xy(x+y)-6xy+8=0$

$(x+y+2)(x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y+4)-3xy(x+y+2)=0$

$(x+y+2)(x^{2}+y^{2}-xy-2x-2y+4)=0$

$\Leftrightarrow x=-y-2 \cup x^{2}+y^{2}-xy-2x-2y+4=0$

Bài 2: 

1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoã mãn:$a - b = \sqrt{1 - b^2} - \sqrt{1 - a^2}$.

Chứng minh rằng:$a^2 + b^2 = 1$.

 

$\Leftrightarrow$$a+\sqrt{1-a^{2}}=b+\sqrt{1-b^{2}}$

Bình phương 2 vế 

$\Leftrightarrow a\sqrt{1-a^{2}}=b\sqrt{1-b^{2}}$

tiếp tục bp 2 vế

$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=1$

 

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10}$.

 

pt$\Leftrightarrow (2x+3)^{2}=4\sqrt{6x+10}-2x-2$

Đặt $\sqrt{6x+10}=2y+3$

Ta có hệ : $4y^{2}+12y=6x+1$ vs $4x^{2}+14x=8y+1$

Trừ 2 pt cho nhau:

$(x-y)(4x+4y+20)=0$

Đến đây ok rồi.

 

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Sin$\dfrac{A}{2}$  $\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$.

 

Kẻ phân giác AD. Kẻ BK vuông góc AD. CH vuông góc AD.

$sin\frac{A}{2}=\frac{BK}{c}=\frac{CH}{b}=\frac{BK +CH}{b+c}\leq \frac{a}{b+c}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Một đường thằng d quay xung quanh điểm A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.

 

$\Delta ABC$ cố định nên AB, BC, CA cố định k đổi.

$P_{BCNM}=BC+BM+AM+AN+CN\leq BC+\sqrt{2(BM^{2}+AM^{2})}+\sqrt{2(AN^{2}+CN^{2})}=BC+\sqrt{2}(AB+AC)$

Dấu = xra khi M,N điểm chính giữa cung AB, AC.

 

Còn câu 1a ai xử nốt đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 28-01-2014 - 00:41

[lovemathforever99]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 1: Cho $a=$$(2^{9})^{2001}$, $b$ là tổng các chữ số của số  $a$, $c$ là tổng các chữ số của $b$, $d$ là tổng các chữ số của c. Tìm $d$.

 

 

Bài 2:    a.Tìm nghiệm nguyên pt: $(x^{2}+y)(y^{2}+x)=(x-y)^{3}$

 

               b. Giải pt : $x^{2}+22x+5=16\sqrt{2x+51}$

 

 

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

 

 

Bài 4:            Cho $(O;R)$, 2 điểm A, B ở ngoài đường tròn sao cho $OA=R\sqrt{2}$. Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng $MA+MB\sqrt{2}$ đạt min.

 

 

Bài 5:         Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. M là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng vuông góc OM tại M cắt AB,BC,CD,DA tại $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$.                      CMR: $M_{1}M_{4}=M_{2}M_{3}$

                                                                                                

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 28-01-2014 - 09:46

[buiminhhieu]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 1: Cho a là tổng các chữ số của số $(2^{9})^{2001}$, $b$ là tổng các chữ số của số  $a$, $c$ là tổng các chữ số của $b$. Tìm $c$.

                                                                                                

Nên sủa đề là tìm tổng các chữ số của c

Giải:

Gọi d là tổng các chữ số của cTa có $(2^{9})^{2001}\equiv (-1)^{2001}(mod 9)\equiv8(mod 9)$

Do đó $a\equiv b\equiv c\equiv$\equiv d$ 8(mod 9)$

Lại có $a=(2^{9})^{2001}< 10^{6003}\Rightarrow b\leq 9.6003=54027\Rightarrow c\leq 4+9.4=40$

$\Rightarrow d\leq 3+9=12$

Mà d$d\equiv 8(mod 9)\Rightarrow d=8$

[hoangmanhquan]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 1: Cho a là tổng các chữ số của số $(2^{9})^{2001}$, $b$ là tổng các chữ số của số  $a$, $c$ là tổng các chữ số của $b$. Tìm $c$.

 

 

Bài 2:    a.Tìm nghiệm nguyên pt: $(x^{2}+y)(y^{2}+x)=(x-y)^{3}$

 

               b. Giải pt : $x^{2}+22x+5=16\sqrt{2x+51}$

 

 

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

 

 

Bài 4:            Cho $(O;R)$, 2 điểm A, B ở ngoài đường tròn sao cho $OA=R\sqrt{2}$. Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng $MA+MB\sqrt{2}$ đạt min.

 

 

Bài 5:         Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. M là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng vuông góc OM tại M cắt AB,BC,CD,DA tại $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$.                      CMR: $M_{1}M_{4}=M_{2}M_{3}$

                                                                                                

Phiền bạn từ sau trước khi post đề mới nhắn mình nhé!

Mình rất ủng hộ nhưng để đỡ loãng topic ấy mà

Hì

[buiminhhieu]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 2:    a.Tìm nghiệm nguyên pt: $(x^{2}+y)(y^{2}+x)=(x-y)^{3}$

Giải:

Phá ngoặc ta được:

$x^{2}y^{2}+2y^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}+xy=0$

Do đó $\begin{bmatrix} y=0\Rightarrow x\in \mathbb{Z} & \\ 2y^{2}+y(x^{2}-3x)+3x^{2}+x=0(I)& \end{bmatrix}$

$(I)\Leftrightarrow 2y^{2}+y(x^{2}-3x)+3x^{2}+x=0$

Coi y là ẩn x là tham số ta được:

$\Delta =x^{4}-6x^{3}-15x^{2}-8x=x(x-8)(x+1)^{2}$ là số chính phương

do đó $x(x-8)=t^{2}(t\in \mathbb{N})\Rightarrow (x-4)^{2}-16=t^{2}\Rightarrow (x-t-4)(x-4+t)=16$

Tới đay dễ rồi

[lovemathforever99]

Nên sủa đề là tìm tổng các chữ số của c

Giải:

Gọi d là tổng các chữ số của cTa có $(2^{9})^{2001}\equiv (-1)^{2001}(mod 9)\equiv8(mod 9)$

Do đó $a\equiv b\equiv c\equiv$\equiv d$ 8(mod 9)$

Lại có $a=(2^{9})^{2001}< 10^{6003}\Rightarrow b\leq 9.6003=54027\Rightarrow c\leq 4+9.4=40$

$\Rightarrow d\leq 3+9=12$

Mà d$d\equiv 8(mod 9)\Rightarrow d=8$

a ở đây là tổng các chứ số của $(2^{9})^{2001}$ chứ không phải $a=(2^{9})^{2001}$ nên đề của mình vẫn đúng. Còn nếu muốn thế này thì để mình sửa đề lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 28-01-2014 - 09:18

[buiminhhieu]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

               b. Giải pt : $x^{2}+22x+5=16\sqrt{2x+51}$

Câu này sai đề không vậy sao ra lẻ thế

[buiminhhieu]

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

Xem bài 307 sách 1001 bài toán sơ cấp

[hoahoalop9c]

Mình góp vui 1 bài 

Nếu sai thì sửa giùm nha!!!

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

 

 $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

Với 1  x,y  0 

=>  $x^{3}+y^{3}= x^{4}+y^{4}=1$

=>  $x^{3}+y^{3}-x^{4}-y^{4}=0$

=> $x³(1-x) + y³(1-y)=0

=> x=0 thì y=1

Hoặc x=1 thì y=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoahoalop9c: 28-01-2014 - 12:59

[buiminhhieu]

 

Mình góp vui 1 bài 

Nếu sai thì sửa giùm nha!!!

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

 

 $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

Với 1  x,y  0 

=>  $x^{3}+y^{3}= x^{4}+y^{4}=1$

=>  $x^{3}+y^{3}-x^{4}-y^{4}=0$

=> $x³(1-x) + y³(1-y)=0

=> x=0 thì y=1

Hoặc x=1 thì y=0

 

Sai ngay từ đoạn này cậu ơi 

Chắc gì như thế

Phải là $-1\leq x,y\leq 1$ chứ

[hoahoalop9c]

Sai ngay từ đoạn này cậu ơi 

Chắc gì như thế

Phải là $-1\leq x,y\leq 1$ chứ

 

bạn thử thay x hoặc y bằng -1 vào bất kì pt trên xem có TM không !!!

[buiminhhieu]

bạn thử thay x hoặc y bằng -1 vào bất kì pt trên xem có TM không !!!

Thế thì chắc gì ở khoảng $-1\leq x,y\leq 0$ không có x,y thỏa mãn

Mà cậu chứng minh cái cậu bảo đi

[hoahoalop9c]

Thế thì chắc gì ở khoảng $-1\leq x,y\leq 0$ không có x,y thỏa mãn

Mà cậu chứng minh cái cậu bảo đi

Sr, tớ thiếu 1 chút

Đk:$-1\leq x,y\leq 0$

Và x,y nguyên dương 

hì hì

[hoahoalop9c]

 

Đề số 6

 

Còn câu này k ai làm thôi thì mik xin giải cho hết vấn vương với đề 6 nhe )

Mak cái này lâu rùi nên k nhớ lắm, các bạn thấy chỗ nào sai thì sửa nhiệt tình nha

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản: 

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.

 

 

 

Ta có  phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản nên  (a;b)=1 nghĩa là 1 là UCLN của a,b

Giả sử $ab$ và $a^2+b^2$ cùng chia hết cho c là 1 SNT

=> a,b chia hết cho c (vì bình.p chia hết cho SNT c)

=> ab ⋮c

Nên: $\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$. cũng chia hết cùng cho c

Trái với giả thiết (a;b)=1 

=> (ab;$a^2+b^2)$ =1

Vậy $\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$ là p.s tối giản

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoahoalop9c: 28-01-2014 - 15:48