Chủ đề này có 151 trả lời

[Viet Hoang 99]

 

ĐỀ SỐ 9

 

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

 

 

Tính được $AC=R\sqrt{3}; BC=R$

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Ptoleme có:

$AD.BC+AB.CD=AC.BD$ (lên google xem cách chứng minh cho nhanh nhé)

$\Rightarrow AD.R+CD.2R=BD.R\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow AD+2CD=BD\sqrt{3}$

$\Rightarrow 3BD^{2}=AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD$

Vậy ta có:

$3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD=5AD^{2}+5CD^{2}$

$\Leftrightarrow 4AD^{2}-4AD.CD+CD^{2}=0$

$\Leftrightarrow (2AD-CD)^{2}=0$

$\Leftrightarrow CD=2AD$

[hoangmanhquan]

Vào lúc 29 Tháng 1 2014 - 06:36, Viet Hoang 99 đã nói:

 

1620753_1517414308483723_886360327_n.jpg

Tính được $AC=R\sqrt{3}; BC=R$

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Ptoleme có:

$AD.BC+AB.CD=AC.BD$ (lên google xem cách chứng minh cho nhanh nhé)

$\Rightarrow AD.R+CD.2R=BD.R\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow AD+2CD=BD\sqrt{3}$

$\Rightarrow 3BD^{2}=AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD$

Vậy ta có:

$3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD=5AD^{2}+5CD^{2}$

$\Leftrightarrow 4AD^{2}-4AD.CD+CD^{2}=0$

$\Leftrightarrow (2AD-CD)^{2}=0$

$\Leftrightarrow CD=2AD$

 

Nếu như muốn sử dụng định lí Ptoleme trong bài thi thì không cần chứng minh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 29-01-2014 - 19:11

[hoangmanhquan]

 

ĐỀ SỐ 9

 

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

 

[lahantaithe99]

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

 

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

Đặt $x+y=a;x-y =b$

Khi đó hpt trở thành

$\left\{\begin{matrix} b^2+\frac{a^2-b^2}{a}=1 & \\ \sqrt{b}+a=1& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2+a-\frac{b^2}{a}=1 & \\ a=b^2+1-2b& \end{matrix}\right.$

Thay $a=b^2+1-2b$ vào pt đầu có

$b^2+1+b^2-2b-\frac{b^2}{1+b^2-2b}=1$

$\Leftrightarrow 2b^2-2b-\frac{b^2}{1+b^2-2b}=0$

$\Leftrightarrow b(2b-2-\frac{b}{1+b^2-2b})=0$

Với $b=0$: thay vào để tính

$2b-2=\frac{b}{b^2+1-2b}$

$\Leftrightarrow b^3-3b^2+3b-1=0$

Đến đây tính nghiệm ra $b$, thay thế để tìm ra nghiệm $x,y$

[Kaito Kuroba]

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

b.Giải phương trình:$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

Bài 3:

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu vàng

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

 

bai1

 

$(x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y-1)}{x+y}+x+y-1=0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [\frac{(x-y)^2}{x+y} +1\right ]\Leftrightarrow x+y=1$

thế vào (2) được: $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 29-01-2014 - 20:14

[lahantaithe99]

 

 

ĐỀ SỐ 9

 

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

 

 

$\widehat{BOP}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$ (1)

$\widehat{BNP}=90^0+\widehat{ONM}=90^0+\frac{180^0-\widehat{NOM}}{2}$

$=180^0-\frac{\widehat{NOM}}{2}$

Ta có $\widehat{NOM}=360^0-\widehat{AOM}-\widehat{AOB}-\widehat{BON}$

$=360^0-(90^0-\frac{\widehat{A}}{2})-(180^0-\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2})-(90^0-\frac{\widehat{B}}{2})$

$=\widehat{A}+\widehat{B}$

$\Rightarrow \frac{\widehat{MON}}{2}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$

Suy ra $\widehat{BNP}=180^0-\frac{\widehat{A}}{2}-\frac{\widehat{B}}{2}$(2)

Từ $(1);(2)$ $\Rightarrow \widehat{BOP}+\widehat{BNP}=180^0$

Suy ra $BOPN$ nội tiếp

Chứng minh dc $BOPN$ nội tiếp thì dễ dàng chứng minh $\triangle AOB\sim \triangle APM$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AMQ}$

Suy ra $AOQM$ nội tiếp

Ta có $BONP$ nội tiếp suy ra $\widehat{APM}=\widehat{OBN}=\widehat{ABQ}$

$\Rightarrow$ $AQPB$ nội tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 31-01-2014 - 17:15

[hoangmanhquan]

bai1

 

$(x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y-1)}{x+y}+x+y-1=0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [\frac{(x-y)^2}{x+y} +1\right ]\Leftrightarrow x+y=1$

thế vào (2) được: $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy thì còn TH: $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1=0$ thì sao?

Bạn mới chỉ chỉ ra được 1 TH thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 29-01-2014 - 20:49

[buiminhhieu]

Vậy thì còn TH: $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1=0$ thì sao?

Bạn mới chỉ chỉ ra được 1 TH thôi.

Trường hợp còn lại vô nghiệm do $\sqrt{x+y}$ có nghĩa khi $x+y\geq 0$

[Kaito Kuroba]

Vậy thì còn TH: $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1=0$ thì sao?

Bạn mới chỉ chỉ ra được 1 TH thôi.

vì ĐK: $x+y\geq 0$ suy ra $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1>0$

[Kaito Kuroba]

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

b.Giải phương trình:$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

Bài 3:

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu vàng

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

bai2:

phương trình đâu tương đương với:

 

$\left ( x-6 \right )\left [ (3x-2)(x+1)+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+4} +\frac{1}{\sqrt{7-x}-1}\right ]=0==> x=6$

[Viet Hoang 99]

 

ĐỀ SỐ 9

 

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu vàng

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

 

 

tô xanh ; đỏ; đen. Vàng ở đâu?
P/s:

 

Lại vô nghiệm, mình sửa đề thành:
$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

 

ĐKXĐ : $\frac{2}{3}\leq x\leq 7$

$PT\Leftrightarrow 3x^{3}-17x^{2}-8x+12+\sqrt{3x-2}-4+1-\sqrt{7-x}=0\Rightarrow (x-6)(3x-2)(x+1)+\frac{3x-18}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{x-6}{1+\sqrt{7-x}}=0\Rightarrow (x-6)[(3x-2)(x+1)+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{7-x}}]=0\Rightarrow x-6=0\Rightarrow x=6$

 

 

bai2:

phương trình đâu tương đương với:

 

$\left ( x-6 \right )\left [ (3x-2)(x+1)+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+4} +\frac{1}{\sqrt{7-x}-1}\right ]=0==> x=6$

Mình làm rồi.

[hoangmanhquan]

tô xanh ; đỏ; đen. Vàng ở đâu?
P/s:

 

Đen là màu vàng

ĐỀ Bài Chuẩn

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu đen?

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$|a−b|=2

[hoangmanhquan]

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

Vào đây nhé mọi người http://diendantoanho...-2013/?p=420500

[hoangmanhquan]

[Viet Hoang 99]

Câu 1: 

1)$\Leftrightarrow |x-1|+|x-3|=5$

*Nếu $x\geq 3 \Rightarrow x-1+x-3=5 \Leftrightarrow x=\frac{9}{2}$ (thỏa)

*Nếu $1\leq x<3\Rightarrow x-1+3-x=5$ (Vô lý)
*Nếu $x<1\Rightarrow 1-x+3-x=5\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ (thỏa)

2)ĐK: $x\neq -1;2$

$PT\Leftrightarrow \frac{3x-6-x-1+9}{(x+1)(x-2)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+2}{(x+1)(x-2)}=0\Leftrightarrow x=-1$ (loại)
PT Vô Nghiệm.

$\Leftrightarrow \frac{3x-6-x-1+9}{(x+1)(x-2)}=0$

Câu 2: 

1)$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k+1}}.\frac{1}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}.\frac{1}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}=\frac{2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}=2(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$

Áp dụng:
$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2007\sqrt{2006}}<\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2007}}<1<2$

Cái này tui chứng minh mạnh hơn này

2) Đề kì kì
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$\left\{\begin{matrix}a<b+c  &  & \\ b<c+a  &  & \\ c<a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}<a(b+c)  &  & \\ b^{2}<b(c+a)  &  & \\ c^{2}<c(a+b) \end{matrix}\right.$

 

Cộng theo vế.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-01-2014 - 21:12

[lahantaithe99]

Bài 3

Với $x+y+z=0\Rightarrow x=y=z=0$

Với $x+y+z\neq 0\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}$(bằng áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau)

Khi đó $\frac{x}{y+z+1}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{y+z+1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1+3y+3z}{2}\Leftrightarrow y+z=0$

$\Rightarrow x=0,5$

Ta có

$\frac{y}{x+z+2}=\frac{y}{0,5-y+2}=0,5\Leftrightarrow y=\frac{5}{6}\Rightarrow z=\frac{-5}{6}$

b.Áp dụng bđt $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$

$\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\leq \sqrt{2(x+y-7)}=\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=3,5;y=4,5$

[hoangmanhquan]

 

Rất xin lỗi các bạn về sự chậm trễ...!Sau đây là đề số 1...Mong các bạn tích cực!

               ĐỀ SỐ 1              

Bài 5:

 Giả sử $ a_{1}, a_{2}, ......., a_{11} $ là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 đôi một khác nhau thỏa mãn$ a_{1}+a_{2}+....+a_{11}=407$. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của phép chia n cho 22 số$ a_{1} , a_{1},......,a_{11}, 4a_{1}, 4a_{2},.....,4a_{11} $bằng 2012

 

Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649

Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào

[buiminhhieu]

Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649

Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào

Đây

Giải:

Nhận xét rằng như $\sum_{i=1}^{11}(a_{i}-1)+(4a_{i}-1)=2013$ nó sau cho vấn đề này giữ đúng chúng ta cần $n\equiv -1(moda_{i})$ và $n\equiv -1(mod4a_{i})$ cho mỗi $i$ ngoại trừ n$n\equiv -2(moda_{i})$ hoặc $n\equiv -2(mod 4a_{i})$ với 1 trong các $i$ . Điều này có nghĩa đối với một số i chúng ta có n tương đương với -1 hoặc -2 modulo $a_{i}$ hay $4a_{i}$ và chúng khác nhau . Đây rõ ràng là không thể vì điều này đòi hỏi(phải có ĐK cần) $a_{i}/(-1-(-2))\Rightarrow a_{i}=1$ , mâu thuẫn với giả thiết vậy ta không có n tồn tại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 31-01-2014 - 19:51

[hoangmanhquan]

Đây

Giải:

Nhận xét rằng như $\sum_{i=1}^{11}(a_{i}-1)+(4a_{i}-1)=2013$ nó sau cho vấn đề

Dịch theo google thì như thế này

Nhận xét rằng như \ sum_ {i = 1} ^ {11} (a_i - 1) + (4a_i - 1) = 2013, sau cho vấn đề này để giữ đúng chúng ta cần n \ equiv -1 \ pmod {a_i} và n \ equiv -1 \ pmod {} 4a_i với mỗi i ngoại trừ n \ equiv -2 \ pmod {a_i} hoặc n \ equiv -2 \ pmod {} 4a_i cho một trong những tôi. Điều này có nghĩa đối với một số i chúng tôi đã n tương đương với -1 hoặc -2 a_i modulo hoặc 4a_i và chúng khác nhau. Đây rõ ràng là không thể vì điều này đòi hỏi a_i | (-1 - (-2)) \ ngụ ý a_i = 1, mâu thuẫn như vậy không có $ n tồn tại.

P/s: Nếu dịch thế này thì tớ không hiểu gì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 01-02-2014 - 19:46

[hoangmanhquan]

 

ĐỀ SỐ 4

Bài 5:

Cho tập  $X= {1;\sqrt{2};\sqrt{3};.....;\sqrt{2012} }$. CMR: trong 90 số khác nhau lấy từ tập X luôn tồn tại 2 số a, b thoả mãn $\left | a-b \right |< \frac{1}{2}$

 

 

Tham khảo tại  đây nhé mọi người: http://diendantoanho...rac12/?p=480284