Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649
Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào
Nhìn kĩ hình như có vấn đề về thuyết đồng dư với bài này ở bên trang Aops.
Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649
Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào
Nhìn kĩ hình như có vấn đề về thuyết đồng dư với bài này ở bên trang Aops.
Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649
Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào
tuy mình không giõ một vài kí hiệu
nhưng xin góp ý một chút
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
mình chỉ dịch phần mà có lời giải thui nhé:
tuy mình không giõ một vài kí hiệu
nhưng xin góp ý một chút
bài của Wakeup:
cho $a_{1},......a_{11}$ là các số nguyên dương khác nhau, tất cả ít nhất là 2 và 407. Liệu có tồn tại một số nguyên n sao cho tổng số 22 dư sau khi chia của $a_{1},a_{2},.........,a_{11},4a_{1},4a_{2},.........4a_{11}$ là $2012$
_________________________________________________________________________________________
bài của dinoboy:
nhận xét rằng : $\sum_{i=11}^{11}$ $( a_{i}-1)$$+(4a_{i}-1)=2013$ sau cho vấn đề này để giữ đúng chúng ta cần : $n\equiv -1$ ( mod $a_{i}$ )
và $n\equiv -1$ ( mod $4a_{i}$ )
với mỗi $i$ ngoại trừ $n\equiv -2$ ( mod $a_{i}$ ) hoặc $n\equiv -2$ ( mod $4a_{i}$ )
Với một trong các $i$ . Diều này có nghĩa với một số $i$ chúng ta đã n tương đương với $-1$ hoặc $-2$ modulo $a_{i}$ hoặc $4a_{i}$ và chúng khác nhau. Điều này rõ dàng là không thể vì điều này đòi hỏi :
$a_{i}|(-1-(-2))$ $\Rightarrow a_{i}=1$
mâu thuẫn. Như vậy không tồn tại
_________________________________________________________
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 01-02-2014 - 23:56
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
Đề số 11:
Bài 1: chứng minh nếu $a+b=1$ $(a\neq 0;b\neq 0)$
thì $\frac{b}{b^{3}+1}-\frac{a}{b^{3}-1}=\frac{2(a-b)}{a^{2}b^{2}+3}$
Bài 2:chứng minh: $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt{3}$
bài 3: Tìm số điện thoại của cơ quan, biết số điện thoại có dạng : $\overline{82aabb}$ và $\overline{aabb}$ là số chính phương có 4 chữ số
Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn $(AB< AC)$ . Kẻ trung tuyến AM và phân giác AD
a, Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt $AB$ ở $E$;$AC$ ở $F$. Chứng minh : BE=CF
b, chứng minh hệ thức : $\frac{AM}{AD}(\frac{BD}{BM}+\frac{CD}{CM})=\frac{sin\tfrac{A}{2}}{sin(\frac{A}{2}+\varphi )}+\frac{sin\tfrac{A}{2}}{sin(\frac{A}{2}-\varphi )}$
biết :$\widehat{DAM}=\varphi$
Hệ thức này đúng không khi $ABC$ là tam giác đều hoặc cân tai $A$ ? vì sao ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 08-02-2014 - 23:04
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
Đề số 11:
Bài 2:chứng minh: $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt{3}$
Đặt $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}};b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}$
$\Rightarrow a^3+b^3=6;(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b);a \neq b$
$\Rightarrow (2\sqrt[3]{3})^3-(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}})^3=...$
$=3(a^3+b^3)-3ab(a+b)=3(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)=3(a+b)(a-b)^2 > 0$
$\Rightarrow$ đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 23:37
Đề số 11:
Bài 3: Tìm số điện thoại của cơ quan, biết số điện thoại có dạng : $\overline{82aabb}$ và $\overline{aabb}$ là số chính phương có 4 chữ số
Đặt $m^2=\overline{aabb}=1100a+11b=11[99a+(a+b)]$ (m thuộc N) (*)
Mà $m^2$ là scp nên 99a + (a + b) chia hết cho 11 $\Rightarrow$ a + b chia hết cho 11.
$1 \leq a+b \leq 18$ nên a + b = 11. Thay vào (*) $\Rightarrow m^2=11(99a+11)=11^2.(9a+1)$
$\Rightarrow$ có 9a + 1 là scp.
$0<a \leq 9$ nên xét từng T.h, ta chọn a = 7 thỏa mãn 9a + 1 = 64 là scp.
$\Rightarrow$ b = 4 $\Rightarrow$ số điện thoại cơ quan là 827744.
Đề số 11:
Bài 1: chứng minh nếu $a+b=1$ $(a\neq 0;b\neq 0)$
thì $\frac{b}{b^{3}+1}-\frac{a}{b^{3}-1}=\frac{2(a-b)}{a^{2}b^{2}+3}$
Đề phải là $\frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}$ thì đúng hơn????
Đề phải là $\frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}$ thì đúng hơn????
đề đúng rùi đó bạn
thui bài này để mai mình post lên nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 09-02-2014 - 01:32
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
Bài 3 :
b) Ta có :
$\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\leq \sqrt{2(x+y-7)}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \max =\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=8 & \\ x-3=y-4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{2} & \\ y=\frac{9}{2} & \end{matrix}\right.$
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
$\Leftrightarrow \frac{b^{4}-b-a^{4}+a}{a^{3}b^{3}-a^{3}-b^{3}+1}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)(b+a)-(b-a)}{a^{3}b^{3}-(a+b)(a^{2}-ab)+b^{2}+1}=\frac{(b-a)(-2ab)}{a^{3}b^{3}-(1-3ab)+1}=\frac{2(a-b)}{a^{2}b^{2}+3}$
(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 09-02-2014 - 17:31
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
bài 4:câu a
$\bigtriangleup ABM$ đồng dạng $\bigtriangleup DBE$ ( góc $B$ chung, $\widehat{BAM}=\widehat{BDE}$ )
$\Rightarrow \frac{DE}{AM}=\frac{BE}{BM}(1)$
$\bigtriangleup ACM$ đồng dạng $\bigtriangleup DCM$
$\Rightarrow \frac{DF}{AM}=\frac{CF}{CM}(2)$
có $AD$ là phân giác $\Rightarrow DE=DF$
$BM=MC$ từ $(1)$ và $(2)$ ta chứng minh được $BE=CF$
còn câu b,tối mình post sau .
P/s: câu b dài quá tối post giờ thì xem phim
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 09-02-2014 - 17:42
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
$\Leftrightarrow \frac{b^{4}-b-a^{4}+a}{a^{3}b^{3}-a^{3}-b^{3}+1}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)(b+a)-(b-a)}{a^{3}b^{3}-(a+b)(a^{2}-ab)+b^{2}+1}=\frac{(b-a)(-2ab)}{a^{3}b^{3}-(1-3ab)+1}=\frac{2(a-b)}{a^{2}b^{2}+3}$
(đpcm)
Cách khác :
$$\frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{b}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{a}{(b-1)(b^2+b+1)}=\frac{b}{-b.(a^2+a+1)}-\frac{a}{-a.(b^2+b+1)}=\frac{1}{b^2+b+1}-\frac{1}{a^2+a+1}=\frac{a^2+a+1-b^2-b-1}{(a^2+a+1)(b^2+b+1)}=\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}$$
Đề khác tương tự :
Chứng minh : $$\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh