Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :
$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 14:04
Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :
$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 14:04
Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :
$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$
Nhầm rồi hay sao ý, $Min=\frac{3}{2}$ mà.
Cách 1:
Nếu ta đặt
$a=\frac{x}{x+z};b=\frac{y}{y+x};c=\frac{z}{z+y}$
Thì $Q.e.D$ tương đương với:
$2a\left ( 1-c \right )+2b\left ( 1-a \right )+2c\left ( 1-b \right )\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )\geq \frac{3}{4}$
Mặt khác: từ cách đổi biến ta có được
$abc=\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2abc+\left ( a+b+c \right )-1$
và
$abc=\frac{xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq ^{Am-GM}=\frac{1}{8}$
Từ đó suy ra rằng:
$\sum a-\sum ab=1-2abc\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\square$
Vậy kết thúc chứng minh.$\blacksquare$
Nhầm rồi hay sao ý, $Min=\frac{3}{2}$ mà.
Cách 1:
Nếu ta đặt
$a=\frac{x}{x+z};b=\frac{y}{y+x};c=\frac{z}{z+y}$
Thì $Q.e.D$ tương đương với:
$2a\left ( 1-c \right )+2b\left ( 1-a \right )+2c\left ( 1-b \right )\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )\geq \frac{3}{4}$
Mặt khác: từ cách đổi biến ta có được
$abc=\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2abc+\left ( a+b+c \right )-1$
và
$abc=\frac{xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq ^{Am-GM}=\frac{1}{8}$
Từ đó suy ra rằng:
$\sum a-\sum ab=1-2abc\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\square$
Vậy kết thúc chứng minh.$\blacksquare$
Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :
$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$
Bạn đọc kĩ đề một chút nhé.
Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :
$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $6xy(x+y)+6yz(y+z)+9zx(z+x)\geqslant 5(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+4zx(z+x)\geqslant 10xyz\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}\geqslant 10$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do: $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}=(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{4z}{y})+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})\geqslant 2+4+4=10$
Đẳng thức xảy ra khi $y=2x=2z$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh