Chủ đề này có 3 trả lời

[Rias Gremory]

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :

$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 14:04

[tim1nuathatlac]

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :

$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

 

Nhầm rồi hay sao ý, $Min=\frac{3}{2}$  mà.

 

Cách 1:

 

Nếu ta đặt 

 

$a=\frac{x}{x+z};b=\frac{y}{y+x};c=\frac{z}{z+y}$

 

Thì $Q.e.D$ tương đương với:

 

$2a\left ( 1-c \right )+2b\left ( 1-a \right )+2c\left ( 1-b \right )\geq \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )\geq \frac{3}{4}$

 

Mặt khác: từ cách đổi biến ta có được

$abc=\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )$

 

$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2abc+\left ( a+b+c \right )-1$

 

               và

$abc=\frac{xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq ^{Am-GM}=\frac{1}{8}$

 

Từ đó suy ra rằng:

$\sum a-\sum ab=1-2abc\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\square$

 

 

Vậy kết thúc chứng minh.$\blacksquare$

[Rias Gremory]

Nhầm rồi hay sao ý, $Min=\frac{3}{2}$  mà.

 

Cách 1:

 

Nếu ta đặt 

 

$a=\frac{x}{x+z};b=\frac{y}{y+x};c=\frac{z}{z+y}$

 

Thì $Q.e.D$ tương đương với:

 

$2a\left ( 1-c \right )+2b\left ( 1-a \right )+2c\left ( 1-b \right )\geq \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )\geq \frac{3}{4}$

 

Mặt khác: từ cách đổi biến ta có được

$abc=\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )$

 

$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2abc+\left ( a+b+c \right )-1$

 

               và

$abc=\frac{xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq ^{Am-GM}=\frac{1}{8}$

 

Từ đó suy ra rằng:

$\sum a-\sum ab=1-2abc\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\square$

 

 

Vậy kết thúc chứng minh.$\blacksquare$

 

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :

$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

Bạn đọc kĩ đề một chút nhé. 

[KietLW9]

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng :

$\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $6xy(x+y)+6yz(y+z)+9zx(z+x)\geqslant 5(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+4zx(z+x)\geqslant 10xyz\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}\geqslant 10$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do: $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(z+x)}{y}=(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{4z}{y})+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})\geqslant 2+4+4=10$

Đẳng thức xảy ra khi $y=2x=2z$