Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ab+bc+ca= \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a^2-bc+1} \leq 3$
Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ab+bc+ca= \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a^2-bc+1} \leq 3$
Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ab+bc+ca= \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a^2-bc+1} \leq 3$
Từ $GT\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-bc+1}=\sum \frac{3(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}$
Vậy cần chứng minh:
$\sum \frac{(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\leq 1\Leftrightarrow \frac{2(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\leq 2\Leftrightarrow \sum (1-\frac{2(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)})\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\geq 1$
Áp dụng Cauchy-Schwarchz:
$\sum \frac{a}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}(a+b+c)+2a(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)(a+b+c)}=1$
$\Rightarrow Q.E.D$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh