Chủ đề này có 1 trả lời

[LNH]

Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ab+bc+ca= \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2-bc+1} \leq 3$

[Viet Hoang 99]

Cho $a,b,c \geq 0$ thoả mãn $ab+bc+ca= \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2-bc+1} \leq 3$

Từ $GT\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-bc+1}=\sum \frac{3(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}$

Vậy cần chứng minh:
$\sum \frac{(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\leq 1\Leftrightarrow \frac{2(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\leq 2\Leftrightarrow \sum (1-\frac{2(ab+bc+ca)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)})\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarchz:
$\sum \frac{a}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}(a+b+c)+2a(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{a(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)(a+b+c)}=1$

$\Rightarrow Q.E.D$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$