Chủ đề này có 5 trả lời

[nghiemthanhbach]

Các anh chị suy nghĩ hộ em vài bài bất đẳng thức " khó gặm " này nha

Việt Nam MO

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng $6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq 27abc+10(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}$

 

 

 

 

[buitudong1998]

Các anh chị suy nghĩ hộ em vài bài bất đẳng thức " khó gặm " này nha

Việt Nam MO

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng $6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq 27abc+10(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}$

Chuẩn hoá: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.

Bất đẳng thức cần CM tương đương với: $2\sum a-abc\leqslant 10$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a^{2}\geqslant b^{2}\geqslant c^{2}$ suy ra : $a^{2}\geqslant 3$ và $\mid bc\mid \leqslant \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{9-a^{2}}{2}$

Ta có : $A=2\sum a-abc=a(2-bc)+2(b+c)$ $\leqslant \sqrt{(a^{2}+(b+c)^{2})((2-bc)^{2}+4)}$

Đến đây đặt $t=bc\rightarrow -3\leqslant t\leqslant 3$

Ta cần chứng minh : $(9+2t)(t^{2}-4t+8)\leqslant 100\Leftrightarrow (2t-7)(t+2)^{2}\leqslant 0$(DPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 01-02-2014 - 19:20

[nghiemthanhbach]

Chuẩn hoá: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.

Bất đẳng thức cần CM tương đương với: $2\sum a-abc\leqslant 10$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a^{2}\geqslant b^{2}\geqslant c^{2}$ suy ra : $a^{2}\geqslant 3$ và $\mid bc\mid \leqslant \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{9-a^{2}}{2}$

Ta có : $A=2\sum a-abc=a(2-bc)+2(b+c)$ $\leqslant \sqrt{(a^{2}+(b+c)^{2})((2-bc)^{2}+4)}$$

Đến đây đặt $t=bc\rightarrow -3\leqslant t\leqslant 3$

Ta cần chứng minh : $(9+2t)(t^{2}-4t+8)\leqslant 100\Leftrightarrow (2t-7)(t+2)^{2}\leqslant 0$(DPCM)

không sử dụng chuẩn hoá có được không anh?

[buiminhhieu]

không sử dụng chuẩn hoá có được không anh?

mình nghĩ là được cậu ạ

vì có thể đặt là k (3k)cũng được cho ví dụ là 9

ta cm k(3k) đúng là được mà 

p/s: nhầm đọc lại không biết  làm được  không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 01-02-2014 - 19:24

[buitudong1998]

không sử dụng chuẩn hoá có được không anh?

Theo mình thì BDT này chuẩn hoá là tốt nhất nếu làm cách khác e rằng sẽ khó

[Phuong Thu Quoc]

Chuẩn hoá: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.

Bất đẳng thức cần CM tương đương với: $2\sum a-abc\leqslant 10$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a^{2}\geqslant b^{2}\geqslant c^{2}$ suy ra : $a^{2}\geqslant 3$ và $\mid bc\mid \leqslant \frac{b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{9-a^{2}}{2}$

Ta có : $A=2\sum a-abc=a(2-bc)+2(b+c)$ $\leqslant \sqrt{(a^{2}+(b+c)^{2})((2-bc)^{2}+4)}$

Đến đây đặt $t=bc\rightarrow -3\leqslant t\leqslant 3$

Ta cần chứng minh : $(9+2t)(t^{2}-4t+8)\leqslant 100\Leftrightarrow (2t-7)(t+2)^{2}\leqslant 0$(DPCM)

Có thể xem cách chứng minh khác tại http://diendan.hocma...d.php?p=2348601