Chủ đề này có 2 trả lời

[pndpnd]

Tìm GTNN của

$A=\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$

Với x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng $\sqrt2$

[HoangHungChelski]

$A=\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$
$\Leftrightarrow (y+z)\sqrt{\frac{(x+y)(z+x)}{x^2}}+(x+z)\sqrt{\frac{(x+y)(z+y)}{y^2}}+(y+x)\sqrt{\frac{(z+y)(z+x)}{z^2}}$
Áp dụng bđt Cauchy:
$(y+z)\sqrt{\frac{(x+y)(z+x)}{x^2}}=\sqrt{1+\frac{y+z}{x}+\frac{yz}{x^2}}$
$\geq 1+\frac{\sqrt{yz}}{x}$ (tự làm nha)
$\Rightarrow (y+z)\sqrt{\frac{(x+y)(z+x)}{x^2}}\geq y+z+\frac{y+z}{x}\sqrt{yz}$
$\geq y+z+\frac{2\sqrt{yz}}{x}\sqrt{yz}=y+z+\frac{2yz}{x}$
Tương tự, cộng theo 3 bđt trên, ta có:
$A\geq 2(x+y+z)+\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}$
Ta có: $\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\geq 2(x+y+z)$ (bđt cauchy, tách ra và biến đổi là ra)
$\Rightarrow A\geq 4(x+y+z)=4\sqrt{2}$
Dấu bằng$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 06-02-2014 - 18:06

[Hoang Tung 126]

Tìm GTNN của

$A=\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$

Với x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng $\sqrt2$

Theo bđt Cosi có:$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})\geq 3\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}}{xyz}}=3\sqrt[6]{\frac{(x+y)^4(y+z)^4(x+z)^4}{x^2y^2z^2}}$(1)

Mặt khác $(x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}= > (x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2\geq \frac{64}{81}(xy+yz+xz)^2(x+y+z)^2\geq \frac{64}{81}.3xyz(x+y+z).(x+y+z)^2=\frac{64xyz(x+y+z)^3}{27}= > (x+y)^4(y+z)^4(x+z)^4\geq \frac{64^2}{27^2}.x^2y^2z^2(x+y+z)^6=\frac{64^2}{27^2}.(\sqrt{2})^6.(xyz)^2=\frac{32768(xyz)^2}{729}= > \frac{(x+y)^4(y+z)^4(x+z)^4}{(xyz)^2}\geq \frac{32768}{729}$(2)

Từ (1),(2) $= > P\geq 3\sqrt[6]{\frac{32768}{729}}$