Giải các hệ phương trình
1, $\left\{\begin{matrix} x^2-4x=(xy+2y+4)(4x+2)\\ x^2+x-2=y(2x+1)^2) \end{matrix}\right.$
2, $\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)(x+y+1)=3x^2-4x+1\\ xy+x+1=x^2 \end{matrix}\right.$
3, $\left\{\begin{matrix} (x+y+1)(x+2y+1)=12\\ x^2+2y+(x+1)(3y+1)=11 \end{matrix}\right.$
4, $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+\sqrt{y}}+\sqrt{x-\sqrt{y}}=2\\ \sqrt{y+\sqrt{x}}+\sqrt{y-\sqrt{x}}=1 \end{matrix}\right.$
5, $\left\{\begin{matrix} y(x^2+1)=x-\frac{1}{x}\\ y(x-y)=x^2-\frac{1}{x^2} \end{matrix}\right.$
6, $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=1-x^2y^2\\ x(xy+y+1)=y(xy+1)+1 \end{matrix}\right.$
1.
Đề sai nè, sửa:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4=(xy+2y+3)(4x+2) & & \\ x^{2}+x-2=y(2x+1)^{2}& & \end{matrix}\right.$
Từ phương trình đầu thì $x^2-4=4x^2y+2xy+8xy+4y+12x+6\Leftrightarrow x^2-12x-10=y(2x+1)^2+6xy+3y$
Thay $y(2x+1)^2=x^2+x-2$ vào phương trình ta được $x^2-12x-10=x^2+x-2+6xy+3y\Leftrightarrow 13x+8+6xy+3y=0\Leftrightarrow 3y(1+2x)=-(13x+8)\Leftrightarrow y=\frac{-(13x+8)}{3+6x}$
Thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được $x^2+x-2=\frac{-(13x+8)}{3(2x+1)}.(2x+1)^2\Leftrightarrow -(2x+1)(13x+8)=3(x^2+x-2)\Leftrightarrow -(26x^2+29x+8)=3(x^2+x-2)\Leftrightarrow 29x^2+32x+2=0$
Đến đây giải phương trình tìm ra $x$ rồi thay vào là ra $y$
2.
Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét $x \ne 0$. Phương trình thứ hai tương đương với:
$x(y+1)=x^2-1\Leftrightarrow y+1=\frac{x^2-1}{x}$
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
$x^2(\frac{x^2-1}{x})(\frac{x^2-1}{x}+x)=3x^2-4x+1\Leftrightarrow 2x^4-6x^2+4x=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=1 & & \\ x=-2 & & \end{bmatrix}$
Từ đó dễ dàng suy ra được $y$.
5.
Điều kiện: $x$ khác $0$
$x^2-\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})=y(x^2+1)(x+\frac{1}{x})$
Nên phương trình 2 trở thành $y(x-y)=y(x^2+1)(x+\frac{1}{x})$.
+Trường hợp 1:
$y$ khác $0$ suy ra $x-y=(x^2+1)(x+\frac{1}{x})\Leftrightarrow -y=x^3+x+\frac{1}{x}$.
Cũng có $x-y=\frac{(x^2+1)^2}{x}$. Từ đó thay các kết quả trên vào pt thứ 2 của hệ ta có
$\frac{(x^2+1)^2(x^4+x^2+1)}{x^2}=x^2-\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow (x^2+1)^2(x^4+x^2+1)=x^4-1\Leftrightarrow (x^2+1)(x^4+x^2+1)=x^2-1\Leftrightarrow x^6+2x^4+x^2+2=0$
$\Leftrightarrow x^2=-2$ (Loại)
+Trường hợp 2:
$y=0$ dễ suy ra $x=1$
Vậy $(x;y)=(1;0)$ là nghiệm duy nhất của hệ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 12:04
