Chủ đề này có 7 trả lời

[quanghao98]

cho các số x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm Max của:

 

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-04-2021 - 09:49

[thuan192]

cho các số x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{3}{4}$

Cái này hình như ngược dấu rồi 

[yeutoan2604]

cho các số x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{3}{4}$

Đề này sai hay sao phải đổi dấu

[thuan192]

cho các số x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{3}{4}$

Ta có $\frac{x}{x+1}=x-\frac{x^{2}}{x+1}$

Tương tự cho $y$ và $z$ rồi cộng lại ta được 

VT=x+y+z-($\frac{x^{2}}{x+1}+\frac{y^{2}}{y+1}+\frac{z^{2}}{z+1}$ $\leq$ 1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 09-02-2014 - 20:55

[HoangHungChelski]

nhầm dấu! chuyển $\geq$ thành $\leq$

[Yagami Raito]

Một cách khác đặt $a=x+1$ và $b=y+1$ và $c=z+1$ thì BĐT cần chứng minh tương đương với $3-\sum \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{3}{4}$
Ta có $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{x+1} \geq \frac{9}{4}$ theo BĐT cauchy schwarzt như vậy BĐT đã đk cm

[yeutoan2604]

Một cách khác đặt $a=x+1$ và $b=y+1$ và $c=z+1$ thì BĐT cần chứng minh tương đương với $3-\sum \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{3}{4}$
Ta có $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{x+1} \geq \frac{9}{4}$ theo BĐT cauchy schwarzt như vậy BĐT đã đk cm

Hình như ngược dấu

[KietLW9]

cho các số x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm Max của:

 

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Ta có: $\frac{x}{x+1}-\frac{9x+1}{16}=\frac{-(3x-1)^2}{16(x+1)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{x}{x+1}\leqslant \frac{9x+1}{16}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\leqslant \frac{9(x+y+z)+3}{16}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$