Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ $I$ là trung điểm $BC.$ $D\in BC.$ Đường trung trực của $AD$ cắt đường trung trực của $AB,AC$ tại $E,F.$ Chứng minh: $A,E,D,I,F\in$ đường tròn đường kính $EF.$

[DarkBlood]

 

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ $I$ là trung điểm $BC.$ $D\in BC.$ Đường trung trực của $AD$ cắt đường trung trực của $AB,AC$ tại $E,F.$ Chứng minh: $A,E,D,I,F\in$ đường tròn đường kính $EF.$

Gọi trung điểm $AD$ là $P.$ Từ đó có $PN$ là đường trung bình tam giác $ACD,$ suy ra $PN$ song song $CD.$

Do đó $\widehat{ANP}=\widehat{ACD}$ mà $\widehat{ANP}=\widehat{AFP}$ $($Tứ giác $ANFP$ nội tiếp$)$ và $\widehat{ACD}=\widehat{MID},$ do đó $\widehat{AFP}=\widehat{MID}.$

Mặt khác $\widehat{AFP}=\widehat{DFP}$ nên $\widehat{MID}=\widehat{DFP}.$

Do đó tứ giác $DEFI$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EDF}=\widehat{EIF}=90^{\circ}$

Lại có $\widehat{EAF}=\widehat{EAD}+\widehat{FAD}=\widehat{EDA}+\widehat{FDA}=\widehat{EDF}=90^{\circ}$

Nên $\widehat{EAF}=\widehat{EDF}=\widehat{EIF}=90^{\circ}$

Vậy $A,E,D,I,F$ thuộc đường tròn đường kính $EF.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 10-02-2014 - 20:21