Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Tìm mối quan hệ giữa $a,b$ để hai phương trình sau nếu có nghiệm thì chỉ có duy nhất một nghiệm chung:

$x^2+2(a-1)x+2a(a-2)=0$ $(1)$

$x^2+2(b-1)x+2b(b-2)=0$ $(2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 12-02-2014 - 17:14

[phatthemkem]

Tìm mối quan hệ giữa $a,b$ để hai phương trình sau nếu có nghiệm thì chỉ có duy nhất một nghiệm chung:

$x^2+2(a-1)x+2a(a-2)=0$ $(1)$

$x^2+2(b-1)x+2b(b-2)=0$ $(2)$

$*)$ Nhận thấy $a=b$ thì $(1)$ và $(2)$ xảy ra nghiệm kép

$*)$ Xét $a$ khác $b$

Đk để hai phương trình có ít nhất một nghiệm là:

$\left\{\begin{matrix} \Delta _{1}'\geq 0\\ \Delta _{2}'\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-2a-1\leq 0\\ b^2-2b-1\leq 0 \end{matrix}\right.$

Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung duy nhất của hai phương trình, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{0}^2+2(a-1)x_{0}+2a(a-2)=0\\ x_{0}^2+2(b-1)x_{0}+2b(b-2)=0 \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế, ta được: $\left ( a-b \right )\left ( x_{0}+a+b-2 \right )=0\Leftrightarrow x_{0}=2-a-b$

Thay vào một trong hai phương trình đã cho rồi rút gọn, ta có: $\left ( a-1 \right )^2+\left ( b-1 \right )^2=2$ $(*)$

Vậy mối quan hệ cần tìm để thỏa yêu cầu đề là:

$$a=b=1\pm \sqrt{2}$$

Hoặc

$$\left\{\begin{matrix} a^2-2a-1\leq 0\\ b^2-2b-1\leq 0\\ \left ( a-1 \right )^2+\left ( b-1 \right )^2=2 \end{matrix}\right.$$